在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值我看之前有人答的感觉有问题.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 08:56:44
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值我看之前有人答的感觉有问题.
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1
若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值
我看之前有人答的感觉有问题.
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值我看之前有人答的感觉有问题.
∵2｛sin［（A＋B）/2］｝^2＋cos2C＝1, ∴2［cos（C/2）］^2＋2（cosC）^2－1＝1,
∴1＋cosC＋2（cosC）^2－1＝1, ∴2（cosC）^2＋cosC－1＝0,
∴（2cosC－1）（cosC＋1）＝0.
显然,在△ABC中,cosC＞－1, ∴cosC＋1＞0, ∴只有cosC＝1/2, ∴sinC＝√3/2.
又a^2＝b^2＋（1/2）c^2,结合正弦定理,容易得到：
（sinA）^2＝（sinB）^2＋（1/2）（sinC）^2＝（sinB）^2＋（1/2）（√3/2）^2,
∴－2（sinA）^2＝－2（sinB）^2－3/4, ∴1－2（sinA）^2＝1－2（sinB）^2－3/4,
∴cos2A＝cos2B－3/4, ∴cos2A－cos2B＝－3/4,
∴2sin（A＋B）sin（B－A）＝－3/4, ∴sinCsin（A－B）＝3/8,
∴（√3/2）sin（A－B）＝3/8, ∴sin（A－B）＝√3/4.
先化简2sin^2[(A+B)/2]=2sin^2（90-C）=2COS^2C
cos2C=2COS^2C-1
因为2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1所以2COS^2C+2COS^2C-1=1所以COS^2C=1
因为a^2=b^2+1/2c^2由余弦定理得b^2+1/2c^2=b^2+c^2-2bcCOSA所以c=4bCOSA
由正弦定理c/sinC=...
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先化简2sin^2[(A+B)/2]=2sin^2（90-C）=2COS^2C
cos2C=2COS^2C-1
因为2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1所以2COS^2C+2COS^2C-1=1所以COS^2C=1
因为a^2=b^2+1/2c^2由余弦定理得b^2+1/2c^2=b^2+c^2-2bcCOSA所以c=4bCOSA
由正弦定理c/sinC=b/sinB所以c/b=sinB/sinC=4COSA
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB因为COS^2C=1所以C=90
所以A,B互余可有sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=0
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