条件：A加B属于自然数,求证A的平方加B的平方大于或等于AB+A+B-1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 17:36:37
条件：A加B属于自然数,求证A的平方加B的平方大于或等于AB+A+B-1
条件：A加B属于自然数,求证A的平方加B的平方大于或等于AB+A+B-1
条件：A加B属于自然数,求证A的平方加B的平方大于或等于AB+A+B-1
2(A²+B²)-2(AB+A+B-1)
=2A²+2B²-2AB-2A-2B+2
=(A²-2AB+B²)+(A²-2A+1)+(B²-2B+1)
=(A-B)²+(A-1)²+(B-1)²
平方大于等于0
所以(A-B)²+(A-1)²+(B-1)²>=0
且A=B=1时等于0
所以等号能取到
所以2(A²+B²)-2(AB+A+B-1)>=0
2(A²+B²)>=2(AB+A+B-1)
所以A²+B²>=AB+A+B-1
只要证明2A^2+2B^2-2AB-2A-2B+2>0
2A^2+2B^2-2AB-2A-2B+2=(A-1)^2+(B-1)^2+(A-B)^2>0证毕
他们都用配方法了，这个是基本的，因此我用另一种方法来做吧，你也可以锻炼一下看问题的角度。
原问题相当于证
A^2-(B+1)A+(B^2-B+1)≥0
把它看做关于A的二次函数则只需证明判别式
△=(B+1)^2-4(B^2-B+1)≤0
即-3（B-1）^2≤0
而这个是恒成立的，因此你题目给的条件都没有必要
只需A，B都是实数都有你结论不...
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他们都用配方法了，这个是基本的，因此我用另一种方法来做吧，你也可以锻炼一下看问题的角度。
原问题相当于证
A^2-(B+1)A+(B^2-B+1)≥0
把它看做关于A的二次函数则只需证明判别式
△=(B+1)^2-4(B^2-B+1)≤0
即-3（B-1）^2≤0
而这个是恒成立的，因此你题目给的条件都没有必要
只需A，B都是实数都有你结论不等式成立。并且容易知道等号成立的条件是B=1，A=1
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