已知函数f(x)=a/2*x平方-lnx．1．若a=1,证明没有f(x)零点.2．若f(x)>=1/2恒成立,求a的取值范围．要过程!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:34:07
已知函数f(x)=a/2*x平方-lnx．1．若a=1,证明没有f(x)零点.2．若f(x)>=1/2恒成立,求a的取值范围．要过程!
已知函数f(x)=a/2*x平方-lnx．1．若a=1,证明没有f(x)零点.
2．若f(x)>=1/2恒成立,求a的取值范围．要过程!
已知函数f(x)=a/2*x平方-lnx．1．若a=1,证明没有f(x)零点.2．若f(x)>=1/2恒成立,求a的取值范围．要过程!
1、当a=1时,f(x)=(1/2)x²－lnx,则f'(x)=x－(1/x)=(x²－1)/x=[(x－1)(x＋1)]/x
则函数f(x)在(0,1)上递减,在(1,＋∞)上递增,所以f(x)的最小值是f(1)=(1/2)－0=1/2,即当x>0时,f(x)≥1/2,则函数f(x)没有零点.
2、f(x)≥1/2,即：(1/2)ax²－lnx≥(1/2),因x>0,则：
a≥(1＋2lnx)/(x²),设：g(x)=(1＋2lnx)/(x²),则只需a大于等于g(x)的最大值即可.
因：g'(x)=[(1＋2lnx)'(x²)－(1＋2lnx)(x²)']/[(x²)²]=[2x－2x(1＋2lnx)]/[(x²)²]=[－4lnx]/(x³)
则：g(x)在(0,1)上递增,在(1,＋∞)上递减,则g(x)的最大值是g(1)=1,从而有：a≥1
原试= F（x）= a/2*x^2- 2Inx/2 (ax^2-2Inx)/2=f(x) F(X)=a（2a-2a/x）/2 f(X)=a-4a/x 因为x不能为0 所以不能经过零点
1：f(x)=a/2*x^2-lnx，若a=1 ， f'(x)=x-1/x (x>0根据已知得的)
f(x)在(0,1)为减函数，（1，+∞）为增函数
最小值为f(1)=1
所以无零点
2： f'(x)=ax/2-1/x
a>0时，f(x)在(0,√(2/a))为减函数，（√(2/a)，+∞）为增函数
最小值为f(√(2/a))=1-ln...
全部展开
1：f(x)=a/2*x^2-lnx，若a=1 ， f'(x)=x-1/x (x>0根据已知得的)
f(x)在(0,1)为减函数，（1，+∞）为增函数
最小值为f(1)=1
所以无零点
2： f'(x)=ax/2-1/x
a>0时，f(x)在(0,√(2/a))为减函数，（√(2/a)，+∞）为增函数
最小值为f(√(2/a))=1-ln,√(2/a)
1-ln,√(2/a)>=1/2
所以a>=2/e
√(2/a)表示根号下2/a
不知道你是否明白？
收起
f '(x)=x-1/x
f ''(x)=1+1/x^2 > 0恒成立，所以f '(x)递增
x=1时f '(x)=0, 所以
0
所以f(x)在x=1取得最小值f(1)=1/2
因此f(x)>=1/2恒成立，没有零点。
二、显然a>0，否则x足够大，f(x)<0
而a>0，f ...
全部展开
f '(x)=x-1/x
f ''(x)=1+1/x^2 > 0恒成立，所以f '(x)递增
x=1时f '(x)=0, 所以
0
所以f(x)在x=1取得最小值f(1)=1/2
因此f(x)>=1/2恒成立，没有零点。
二、显然a>0，否则x足够大，f(x)<0
而a>0，f ''(x)恒大于0。f'(x)＝ax -1/x 递增，用
令f '(x)=0得ax^2=1, x=1/根号a.
因此x<1/根号a时f(x)递减、大于是则递增
f(x)在x=1/根号a时有最小值：1/2 +1/2*lna
因此只要lna >＝0即a>＝1时 f(x)>=1/2恒成立
收起