函数f(x)=lnx-1/x,且x≥2,证明f（x-1)≤2x-5 高中知识详证
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 10:47:57
函数f(x)=lnx-1/x,且x≥2,证明f（x-1)≤2x-5 高中知识详证
函数f(x)=lnx-1/x,且x≥2,证明f（x-1)≤2x-5 高中知识详证
函数f(x)=lnx-1/x,且x≥2,证明f（x-1)≤2x-5 高中知识详证
证:f(x-1)=ln(x-1)-1/(x-1)
f(x-1)-2x+5=ln(x-1)-1/(x-1)-2(x-1)+3=lnt-1/t-2t+3(t=x+1,t≥1)
设g(t)=lnt-1/t-2t+3(t≥1),g'(t)=1/t+1/t^2-2在t≥1时恒小于0,g(t)单调递减
g(t)≤g(t)max=g(1)=0
即f(x-1)≤2x－5
要证明f(x-1)≤2x-5=2(x-1)-3 (x≥2)
相当于要证明f(x)≤2x-3 (x≥1)
令g(x)=f(x)-(2x-3)=lnx-1/x-2x+3
则：g'(x)=1/x-1/x²-2=(x-1-2x²)/x²=-(2x²-x+1)/x²
因为2x²-x+1=2(x...
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要证明f(x-1)≤2x-5=2(x-1)-3 (x≥2)
相当于要证明f(x)≤2x-3 (x≥1)
令g(x)=f(x)-(2x-3)=lnx-1/x-2x+3
则：g'(x)=1/x-1/x²-2=(x-1-2x²)/x²=-(2x²-x+1)/x²
因为2x²-x+1=2(x²-x)+1=2(x-1/2)²+1/2>0
所以g'(x)<0，则g(x)在[1,+∞)上单调递减
那么g(x)≤g(1)=0-1-2+3=0
即f(x)-(2x-3)≤0
所以f(x)≤2x-3
所以f(x-1)≤2x-5得证
收起
令f（x-1）-（2x-5）
令f2（x）=上式=ln（x-1）-1/（x-1）-2x+5 x≥2
f2(x+1)-f2（x）=ln（x/(x-1)）+1/(x(x-1))-2<0 x≥2
f2(x)为单调减函数，故f2（x）≤f2（2）=0，故
f（x-1）≤2x-5