已知a,b是正有理数,√a,√b是无理数,证明:√a+√b必为无理数利用有理数封闭性我很笨，才问这个问题的，但very thank you~

已知a,b是正有理数,√a,√b是无理数,证明:√a+√b必为无理数利用有理数封闭性我很笨，才问这个问题的，但very thank you~
已知a,b是正有理数,√a,√b是无理数,证明:√a+√b必为无理数
利用有理数封闭性
我很笨，才问这个问题的，但very thank you~

已知a,b是正有理数,√a,√b是无理数,证明:√a+√b必为无理数利用有理数封闭性我很笨，才问这个问题的，但very thank you~
你太有才了,问这种问题,你看看证明的全过程吧
下面开始：
只讨论数域,所以以下所谓“域”也仅指数域.
有理运算：
包括加,减,乘(包括正整数次乘方),除(除数不为0)
数域：
就是关于有理运算封闭的数集.
扩域：
“定义：设E是域F的一个扩域,S是E的一个子集,则称E的所有包含F∪S的子域的交称为F添加S得到的扩域,记作F(S).
当S是有限集{a1,a2,...,an}时,F(S)又可以记作F(a1,a2,...,an),特别地F(a)称为F的单纯扩域.
定理$$：设E是域F的一个扩域,S1,S2是E的两个子集,则
F(S1∪S2)=F(S1)(S2)=F(S2)(S1)
这个定理告诉我们,我们可将添加有限集合{a1,a2,...,an}于域F归结为有限次单纯扩张,即：
F(a1,a2,...,an)=F(a1)(a2)...(an)”
以上引号里的内容全是书上原话,是对一般性的域(不仅是数域)来讲的,我觉得书上这个定义虽然有些抽象,但也有个明显的好处就是使我们意识到F(s)的“极小性”即“F(S)是包含域F和集合S的最小的域”
关于数域的扩张和扩域,为了便于理解,下面是一个较为顾名思义的解释：
设F是数域,将数a添加到F进行扩张,意思是说将a与F中的数放在一起进行有理运算(所得的结果之间还可以再与F中的数放在一起重复进行有理运算)不断得到新数.
所有可以通过扩张得到的数连同F本身构成一个数域E,称E为F的扩域,E又常记作F(a).
说明：
1,一般地,将m个数a1,a2,.,am添到F所得的扩域记为F(a1,a2,.,am)
2,如果在F(a)中再添一个数b,得到的扩域为F(a)(b),这样分步添加与一次性将两个数都添进去是等效的,即F(a)(b)=F(a,b).
3,显然,如果添进去的数a属于F,则得到的扩域E等于F,若a不属于F,则得到的扩域E不等于F,进一步说是E>F.但无论如何有E>=F,即扩域总不比原域小.
代数元：
将各项系数皆出自数域F的多项式称为F上的多项式(将F上的多项式全体所组成的集合记为F[x]).
若a是F上某一非零多项式的根,则称a是F上的代数元.(否则称a是F上的超越元).
说明：若a是F上的代数元,则称F(a)为F的单代数扩域.
极小多项式：
对于一个数a,称F上以a为根的,次数最低的,首项系数为1的非零多项式p(x)为a在F上的极小多项式,称P(x)的次数n为a在数域F上的次数.
说明：可以证明：“a是F上的代数元a在F上存在极小多项式”,多项式f(x)的次数记作degf(x).
线性空间：
设F是一个数域,V是一个集合,在V上定义了一个加法“+”,即对V中任意两个元素A,B,总存在V中唯一的元素D与之对应,记为D=A+B,在数域F与V之间定义了一种运算,称为数乘,即对F中任一数a及V中任一元素A,在V中总有唯一的元素E与之对应,记为E=aA.若上述加法及数乘满足下列运算规则：
(1)加法交换律：A+B=B+A
(2)加法结合律：(A+B)+D=A+(B+D)
(3)在V中存在一个元素O,对于V中任一向量A,都有A+O=A
(4)对于V中每个元素A,存在元素B,使A+B=O
(5)1*A=A
(6)a(A+B)=aA+aB,a属于F
(7)(a+b)A=aA+bA,a,b属于F
(8)a(bA)=(ab)A
在上述规则中,A,B,D是V中任意的元素,a,b是F中任意的数.适合上述条件的集合V称为数域F上的线性空间或向量空间.
说明：看一个系统是不是线性空间,就按定义去验证就可以了.数域F的扩域E可以看作是数域F上的线性空间.
向量的线性关系(线性相关,线性无关,线性组合)：
线性相关和线性无关：
设V是数域F上的线性空间,a1,a2,...,am是V中m个向量,若存在F中m个不全为零的数k1,k2,...,km,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0
则称a1,a2,...,am线性相关.
反之,若F中不存在不全为零的数k1,k2,...,km,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0
则称a1,a2,...,am线性无关.
说明：
线性无关还可以这样等价地定义：
若存在F中m个数k1,k2,...,km,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0成立
则必有k1=k2=...=km=0.
线性无关又称线性独立.
线性组合：
设V是F上的线性空间,a1,a2,...,am和b均是V中的向量,若存在F中m个数k1,k2,...,km,使
b=k1a1+k2a2+...+kmam
则称b是a1,a2,...,am的线性组合.
基和维数：
设V是数域F上的线性空间,如果在V中存在n个线性无关的向量e1,e2,...,en,使V中任一向量均可表示为这组向量的线性组合,则称{e1,e2,...,en}是V的一组基,线性空间V称为n维线性空间,如果不存在有限个向量组成V的一组基,则称V是无限维线性空间.
说明：
1,一般来说,一个线性空间的基不是唯一确定的,但可以证明：不同的基中所含元素的个数必定是相等的.即给定了一个线性空间,则它的维数是确定的.
2,“:(((”在他的帖子里用V/F表示数域F上的线性空间V的维数,我下面也就沿袭这种写法.
3,注意,线性组合的系数一定是要从数域F里出
极大无关组：
设在线性空间V中存在一组向量a1,a2,...,an,适合如下条件：
(1)a1,a2,...,an线性无关
(2)在V中任意取出一个向量a加往入a1,a2,...,an,则a,a1,a2,...,an必线性相关.
那么称a,1,a2,...,an是V的极大线性无关组,简称极大无关组.
说明：
根据上面的定义,我们可以证明下面的定理@：
V中任意一个向量a均可表示为a1,a2,...,an的线性组合.
证：
据条件(2)知a,a1,a2,...,an线性相关,所以存在一组不全为0的数k,k1,k2,...,kn,使
ka+k1a1+...+knan=0 (#)
假设k=0,则上式变为k1a1+k2a2+...+knan=0,因为k,k1,k2,...,kn不全为0,又k=0,所以k1,k2,...,kn不全为0,所以a1,a2,...,an线性相关,这与条件(1)矛盾,所以k不等于0,于是(#)式可写为a=-k1a1/k-k2a2/k-...-knan/k,即a可表为a1,a2,...,an的线性组合,定理@证完.
到这儿,我们看到V的极大无关组a1,a2,...,an既满足线性无关,又可以表示V中任一元素,所以a1,a2,...,an是V的一组基.
以上主要是介绍概念,接下来要证明一些定理：
引理1：
设f(x),g(x)均为数域F上的多项式,g(x)不等于0,则必存在唯一的q(x),r(x)(均为数域F上的多项式),使得f(x)=g(x)q(x)+r(x),且degr(x)=n,即E1/F>=n,所以E1/F>=E2/F.
下面解释“:(((”的推理：
令A=a1^(1/k1),B=a2^(1/k2),A和B在Q(Q表有理数域)上的极小多项式分别为f1和f2.
因为Q(A,B)是在Q(A)的基础上添加B得到的扩域,所以Q(A,B)>=Q(A),进而Q(A,B)/Q>=Q(A)/Q,即Q(A,B)/Q>=degf1
同理,因为Q(A,B)是在Q(B)的基础上添加A得到的扩域,所以Q(A,B)>=Q(B),进而Q(A,B)/Q>=Q(B)/Q,即Q(A,B)/Q>=degf2
所以Q(A,B)/Q>=max{degf1,degf2} (1)
因为Q(A,B)=Q(A+B)(A),所以Q(A,B)/Q(A+B)=Q(A+B)(A)/Q(A+B),根据定理*,有：Q(A+B)(A)/Q(A+B)=A在Q(A+B)上的次数,而A在Q(A+B)上的次数==Q,所以p(x)也是Q(A+B)上的多项式,此时,如果p(x)正好是A在Q(A+B)上的最小多项式,则A在Q(A+B)上的次数=n,若A在Q(A+B)上还有比p(x)次数还低的非零多项式g(x)(首项为1)使g(x)=0,则A在Q(A+B)上的次数

假设 √a + √b 是一有理数 r, 则
√a = r - √b
两边平方得
a = r^2 + b - 2r√b
整理等式得
√b = (r^2 + b - a) / 2r
由于 a, b, r 都是有理数, 那么 √b 也是个有理数, 与题设矛盾. 故 √a + √b 不是有理数.

反证法!
因为√a+√b=(a-b)/(√a-√b)
且a b为正有理数,√a √b是无理数
假设√a+√b为有理数,则√a-√b=√a+√b-2√b为无理数
则(√a+√b)(√a-√b)为无理数,与题意不符
则√a+√b为无理数