椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,点P(x,y)是椭圆上的点,若2x+√3y的最大值为10,求椭圆的标准方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 06:36:06
椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,点P(x,y)是椭圆上的点,若2x+√3y的最大值为10,求椭圆的标准方程
椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,点P(x,y)是椭圆上的点,若2x+√3y的最大值为10,求椭圆的标准方程
椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,点P(x,y)是椭圆上的点,若2x+√3y的最大值为10,求椭圆的标准方程
设标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,从而参数方程为：x=a*cosθ,y=b*sinθ,
c/a=e=1/2,得到a=2c,a^2=4c^2
a^2=b^2+c^2, b^2=3c^2,
2x+√y=2a*cosθ+√3b*sinθ≤√(4a^2+3b^2)=√(16c^2+9c^2)=5c
2x+√3y的最大值为10,
所以 5c=10, c=2, a^2=4c^2=16 b^2=3c^2=12
所以椭圆的方程为：(x^2)/16+(y^2)/12=1.
离心率为c a =1 2 ，即a=2c
又∵b2+c2=a2
∴a2=4c2，b2=3c2
∴设椭圆标准方程是x2 4c2 +y2 3c2 =1，
它的参数方程为 x=2cosθ y= 3 sinθ （θ是参数）
2x+ 3 y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）
∴2x+ 3 y的最大值是5c，
依题意5c=10，c=2，...
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离心率为c a =1 2 ，即a=2c
又∵b2+c2=a2
∴a2=4c2，b2=3c2
∴设椭圆标准方程是x2 4c2 +y2 3c2 =1，
它的参数方程为 x=2cosθ y= 3 sinθ （θ是参数）
2x+ 3 y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）
∴2x+ 3 y的最大值是5c，
依题意5c=10，c=2，
∴椭圆的标准方程是x2 16 +y2 12 =1
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