已知方程x lx-1l +m=0有三个不等的实根,则实数m的取值范围?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 06:38:42
已知方程x lx-1l +m=0有三个不等的实根,则实数m的取值范围?
已知方程x lx-1l +m=0有三个不等的实根,则实数m的取值范围?
已知方程x lx-1l +m=0有三个不等的实根,则实数m的取值范围?
答案：-1/4＜m＜0
对x取值分类讨论
当x=1时,原方程化为 1×|0|+m=0,m=0
把m=0代回方程,得x|x-1|=0,解得x1=0,x2=1,不符合题意
故m≠0
当x＞1时,原方程化为x(x-1)+m=0,x²-x+m=0
当x＜1时,原方程化为x(1-x)+m=0,x²-x-m=0
所以原题转化为,方程x²-x+m=0（x＞1）,x²-x-m=0（x＜1）共有三个不相等的实数解
x²-x+m=0（x＞1）时,x1=【1+√(1-4m)】/2,x2=【1-√(1-4m)】/2,
x²-x-m=0（x＜1）时,x3=【1+√(1+4m)】/2,x4=【1-√(1+4m)】/2
观察发现,x2必小于1,不是x²-x+m=0（x＞1）的解
故 其他三解必须符合题意,且互不相等
有1）x1=【1+√(1-4m)】/2＞1,
2）x3=【1+√(1+4m)】/2＜1,
3）x4=【1-√(1+4m)】/2＜1
由1）得,先要有1-4m≥0,m≤1/4
去分母,得 1+√(1-4m)＞2
√(1-4m)＞1
1-4m＞1
m＜0
综合得,此时m取值m＜0
由2）得,先要有1+4m≥0,m≥-1/4
去分母,得 1+√(1+4m)＜2
√(1+4m)＜1
1+4m＜1
m＜0
综合得,此时m取值-1/4≤m＜0
观察3）发现只要当根号内的1+4m≥0,不等式恒成立
即 此时m≥-1/4
又因为x3≠x4,
所以【1+√(1+4m)】/2≠【1-√(1+4m)】/2
√(1+4m)≠-√(1+4m)
1+4m≠0
m≠-1/4
综上所述,m的取值-1/4＜m＜0
【由x1≠x3,x1≠x4可得m≠0,故上文没有讨论】
-1/4≤m≤1/4