高一 数学 数学题! 请详细解答,谢谢! (25 7:38:22)已知a,b,c为两两不相等的正实数,求证：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 02:09:47
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已知a,b,c为两两不相等的正实数,求证：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

高一 数学 数学题! 请详细解答,谢谢! (25 7:38:22)已知a,b,c为两两不相等的正实数,求证：a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca
a^2+b^2+c^2
=1/2(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)
>=1/2(2ab+2ca+2bc)
=ab+bc+ca
（当a=b=c是取等号）
又abc两两不等
故a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0
PS：这是一道很常见的结论，一定要熟悉。
希望能帮助到你。

证明：法1：不妨设a>b>c,由排序原理顺序和大于乱序和可得a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca。
法2：因为（a-b）^2>0,即a^2+b^2>2ab，同理可得a^2+c^2>2ac，c^2+b^2>2cb，三式相加可得2（a^2+b^2+c^2）>2（ab+bc+ca），即a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca

用柯西不等式（a^2+b^2+c^2）（b^2+c^2+a^2）>(ab+bc+ca)
得证

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