任意x,y.使得根号x+根号2y

任意x,y.使得根号x+根号2y
任意x,y.使得根号x+根号2y<=a(根号（x+y）)恒成立,求a最小值

任意x,y.使得根号x+根号2y
√x+√(2y)<=a√(x+y),√[x/(x+y)]+√[2y/(x+y)]<=a.x>=0,y>=0.
需要求√[x/(x+y)]+√[2y/(x+y)]的最大值.
设√[x/(x+y)]=u>=0,√[2y/(x+y)]=v>=0,u^2+v^2/2=1,设z=u+v
在平面uOv中,部分椭圆u^2+v^2/2=1(u>=0,v>=0)为约束条件,求目标函数z=u+v的最大值.
将u、v看成未知数,联立u^2+v^2/2=1与z=u+v得：3u^2-2zu+z^2-2=0.
△=4z^2-12z^2+24=0,z=√3或z=-√3(舍去).
所以z=u+v=√[x/(x+y)]+√[2y/(x+y)]的最大值是√3.
a>=√3,即a的最小值为√3.

必须x,y>0,则用加权均值不等式知:a=根号3

365

2均值不等式