求证:不小于5 的质数的平方与1的差能被24整除(初二以下的数学手段来解决)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 02:44:59
求证:不小于5 的质数的平方与1的差能被24整除(初二以下的数学手段来解决)
求证:不小于5 的质数的平方与1的差能被24整除
(初二以下的数学手段来解决)
求证:不小于5 的质数的平方与1的差能被24整除(初二以下的数学手段来解决)
设该质数为n,则
n^2-1=(n-1)(n+1)
n是质数,那么首先n是奇数,则n-1与n+1是相邻的两偶数,所以他们必定一个是4的倍数,一个是2的倍数,首先他们能被8整除；
由n不是3的倍数知,n-1,n+1当中必有一个是3的倍数
因为任意3个连续的整数n-1,n,n+1当中必有一个是3的倍数,
所以n^2-1=(n-1)(n+1)
既能被8整除,又能被3整除,所以能被24整除
令此质数为t＝2×k＋1；
则t*t－1＝4×k×（k＋1）；
由于k与k＋1其中必有一为偶数，所以t*t－1必能被8整除，
又k只能为3*w，3×w＋1，3×w＋2中某种形式，若k为3×w或3×w＋2形式，可知，t×t－1定能被3整除。若k为3×w＋1形式，则t＝2×k＋1＝6×w＋3，不是质数，矛盾。
所以t*t-1必能同时被8和3整除，即为24的倍数
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令此质数为t＝2×k＋1；
则t*t－1＝4×k×（k＋1）；
由于k与k＋1其中必有一为偶数，所以t*t－1必能被8整除，
又k只能为3*w，3×w＋1，3×w＋2中某种形式，若k为3×w或3×w＋2形式，可知，t×t－1定能被3整除。若k为3×w＋1形式，则t＝2×k＋1＝6×w＋3，不是质数，矛盾。
所以t*t-1必能同时被8和3整除，即为24的倍数
以上k，w均为整数
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证明:∵质数中仅有一个偶数2,
∴不小于5的质数是奇数.
又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类:6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5,(n是自然数),
其中6n,6n+2,6n+4都是偶数,又3│6n+3.
∴不小于5的质数只可能是6n+1,6n+5.
又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是:6n-1,
∴(不小于5的质...
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证明:∵质数中仅有一个偶数2,
∴不小于5的质数是奇数.
又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为6类:6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5,(n是自然数),
其中6n,6n+2,6n+4都是偶数,又3│6n+3.
∴不小于5的质数只可能是6n+1,6n+5.
又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是:6n-1,
∴(不小于5的质数)2-1=(6n±1)2-1
=36n2±12n=12n(3n±1),
这里n与(3n±1)奇偶性不同,其中定有一个偶数,
∴2│n(3n±1),
∴24│12n(3n±1).
∴结论成立.
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