证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 02:26:39
证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
不失一般性,设双曲线方程为：x^2/a^2－y^2/a^2＝1,得：
该双曲线的焦点坐标是F1（－√2a,0）、F2（√2a,0）,该双曲线中心坐标为O（0,0）.
令A（m,n）是该双曲线上的一点.则：
｜AF1｜＝√［（m＋√2a）^2＋n^2］,｜AF2｜＝√［（m－√2a）^2＋n^2］.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝√｛［（m＋√2a）^2＋n^2］［（m－√2a）^2＋n^2］｝
＝√［（m^2－2a^2）^2＋（m^2＋2a^2＋2√2am＋m^2＋2a^2－√2am）n^2＋n^4］
＝√［m^4－4a^2m^2＋4a^4＋（2m^2＋4a^2）n^2＋n^4］
＝√（m^4＋2m^2n^2＋n^4＋4a^4－4a^2m^2＋4a^2n^2）
＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（m^2－n^2）］
显然,m、n满足双曲线方程,∴m^2/a^2－n^2/a^2＝1,∴m^2－n^2＝a^2.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（a^2）］＝m^2＋n^2.
而｜AO｜^2＝（m－0）^2＋（n－0）^2＝m^2＋n^2.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝｜AO｜^2. 证明完毕.
已经有好答案了。
等轴双曲线有e=√2
等轴双曲线方程为x²-y²=a²；
设该点坐标为(x0，y0)
左焦半径：r1=(ex0+a)
右焦半径：r2=(ex0-a)
r1*r2=2x0²-a²
而点到双曲线中心距离的平方为x0²+y0²；
对于双曲线有x0²-y0...
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等轴双曲线有e=√2
等轴双曲线方程为x²-y²=a²；
设该点坐标为(x0，y0)
左焦半径：r1=(ex0+a)
右焦半径：r2=(ex0-a)
r1*r2=2x0²-a²
而点到双曲线中心距离的平方为x0²+y0²；
对于双曲线有x0²-y0²=a²
以上联立不难看出2x0²-a²=x0²+y0²；
所以命题得证
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