求02年到09年 全国初中数学竞赛决赛试题

求02年到09年 全国初中数学竞赛决赛试题
求02年到09年 全国初中数学竞赛决赛试题

求02年到09年 全国初中数学竞赛决赛试题
2004年全国初中数学联赛试题及参考答案
（江西赛区加试题2004年4月24日上午8:30-11:00）
一. 选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.直角三角形斜边长为整数,两条直角边长是方程9x2－3(k+1)x＋k＝0的两个根,则k2的值是…………………………( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)9
2.(8+3 )9 ＋ 值是……………………………………………( )
(A)奇数 (B)偶数 (C)有理数而不是整数 (D)无理数
3.边长分别是2、5、7的三个正方体被粘合在一起,在这些用各种方式粘合在一起的立方体中,表面积最小的那个立方体的表面积是…………………………….（ ）
(A)410 (B)416 (C)394 (D)402
x+yz=1

4.设有三个实数x 、y、z满足： y+zz=1 则适合条件的解组（x、y、z）有（ ）

z+xy=1
(A)3组 (B) 5组 (C)7组 (D)9组
5.8a≥1, 则 的值是( )
(A)1 (B) 2 (C)8a (D)不能确定
6.方程 的整数解有( )
(A)1组 (B)3组 (C)6组 (D)无穷多组
二．填空题（本题满分28分,每小题7分）
1．函数y=x2－2（2k－1）x＋3k2－2k＋6的最小值为m.则当m达到最大时x＝
2．对于1,2,3,.,9作每二个不同的数的乘积,所有这些乘积的和是
3．如图,AB,CD是圆O的直径,且AB⊥CD,P为CD延长线上一点,PE切圆O为E,BE交CD于F,AB=6cm,PE=4cm,则EF的长=
.
4．用6张1x2矩形纸片将3x4的方格表完全盖住,则不同的盖法有 种.
三.综合题
1.有二组数：A组1,2,.,100 B组12, 22 ,32 ,.,1002若对于A组中的X,在B组中存在一个数Y,使得X+Y也是B组中的数,则称X为关联数,求A中关联数的个数
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象和x轴,y轴都只有一个交点,分别为A,B.
AB=3 ,b+2ac=0,一次函数y=x+m的图象过A点,并和二次函数的图象交于另一点D.求△DAB的面积

3．等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,且BD=2CD,P是AD上的一点.
∠CPD=∠ABC,求证：BP⊥AD
答案：一CBDBAB
二 1.1 2.870 3. 4.11
三 1.73 2.9 3.（略）
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30
学校___________ 考生姓名___________
题 号 一 二 三 四 五 合 计
得 分
评卷人
复核人
一、选择题:（每小题7分,共计42分）
1、若a、b为实数,则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2; (B)a≠b a2≠b2; (C)|a|＞b a2＞b2; (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)3•22005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为 正六边形,（如图）,如果缝制好的这种足球黑皮有12块,则白皮有（ ）块.
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中,斜边AB=5,而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根,则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时,k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图,直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴,则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题: （每小题7分,共计28分）
1、已知：x为非零实数,且 = a, 则 =_____________.
2、已知a为实数,且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根,则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC于Q,则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n,如果能找到自然数a和b,使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如:3=1+1+1×1,则3是一个“好数”,在1~20这20个自然数中,“好数”共有__个.
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点,原点位于线段AB的中点处.试求A、B两点的坐标.
四、（本题满分25分）如图,AB是⊙o的直径,AB=d,过A作⊙o的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC叫⊙o于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数,如果x2=y , =2,试求积abc的所有可能的值.
参考解答及评分标准
一、选择题（每小题7分,共计42分）
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C
二、填空题 （每小题7分,共计28分）
1、 a2－2 2、 3、 45° 4、 12
三、∵原点是线段AB的中点 点A和点B关于原点对称
设点A的坐标为（a,b）,则点B的坐标为（―a,―b）……5分
又 A、B是抛物线上的点,分别将它们的坐标代入抛物线解析式,得：
…………………………10分
解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4…………………15分
故 A为（1,4）,B为（-1,-4） 或者 A（-1,-4）,B（1,4）.……20分
四、如图连结AD,则∠1=∠2=∠3=∠4
∴ΔCDE∽ΔCAD
∴ ① ………………5分
又∵ΔADE∽ΔBDA
∴ ② ………………10分
由①、②及AB=AC,可得AE=CD …………15分
又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ,即AE2=CD2=CE•CA …………20分
设AE=x,则CE=d－x ,于是 x2=d(d－x)
即有AE = x = （负值已舍去） ……………………25分
五、∵a+b－c=x, a+c－b=y, b+c－a =z ,
∴a= , b= , c= …………………5分
又∵ y=x2 ,
故 a= ---(1);
b= -----(2)
c= ----(3)
∴x= ---------------(4)
∵x是整数,得1+8a=T2,其中T是正奇数. ………………10分
于是,2a= ,其中a是质数,故有 =2, =a
∴T=5,a=3 ……………………15分
将a=3代入（4） 得 x=2或－3.
当x=2时,y=x2=4,
因而 －2=2, z=16 ,
代入（2）、（3）可得b=9 ,c=10,
与b、c是质数矛盾,当舍去. ……………………20分
当x=－3时,y=9 . －3=2,
∴z=25
代入（2）、（3）可得 b=11,c=17
∴abc=3×11×17=561 ……………………………25分
2006年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1．已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1,分别表示四边形EFGH的面积和周长．设 ．则下面关于 的说法中,正确的是( )．
(A) 均为常值 (B) 为常值, 不为常值
(C) 不为常值, 为常值 (D) 均不为常值
2．已知 为实数,且 是关于 的方程 的两根．则 的值为( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．关于 的方程 仅有两个不同的实根．则实数 的取值范围是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．设 则实数 的大小关系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 为有理数,且满足等式 ,则 的值为( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20,40,60,80,100,104,…．则这列数中的第158个数为( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空题(每小题7分,共28分)
1．函数 的图像与 轴交点的横坐标之和等于 ．
2．在等腰 中,AC=BC=1,M是BC的中点,CE⊥AM于点E,交AB于点F,则S△MBF= .
3．使 取最小值的实数 的值为 ．
4．在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足 .
就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为 ．
注：所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试
A卷
一、(20分)已知关于 的一元二次方程 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组 有多少组?
二、(25分)如图l,D为等腰△ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1,AD=5．求线段BC的长．

三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：
(1)O、E、O1三点共线；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一题．
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．
(1)求证：O、E、01三点共线；
(2)若 求 的度数．
C卷
一、(20分)同A卷第二题．
二、(25分)同B卷第三题．
三、(25分)设 为正整数,且 ．在平面直角坐标系中,点 和点 的连线段通过 个格点 ．证明：
(1)若 为质数,则在原点O(0,0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点；
(2)若在原点O(0,0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点,则p为质数．
2007年全国初中数学联赛
武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案
一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分,共50分）
1、 已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限,且与x轴交于点（－2,0）,则不等式ax>b的解集为（ ）
（A）x>－2 （B）x2 （D）x0,b=2a, ∴ax>b的解集为x>2. 选（C）
2、已知 ,则下列结论正确的是（ ）
（A）a>b>c （B）c>b>a （C）b>a>c （D）b>c>a
∵ ,∴a>b>c 选（A）
3、父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系
父母的
血型 O,O O,A O,B O,AB A,A A,B A,AB B,B B,AB AB,AB
子女的可
能血型 O O,A O,B A,B A,O A,B,
AB,O A,B,
AB B,O A,B,
AB A,B,
AB
已知：（1）麦恩的父母与麦恩的血型各不相同；（2）麦恩的血型不是B型,那么麦恩的血型是（ ）
（A）A型 （B）AB型或O型 （C）AB型 （D）A型或O型或AB型
选（D）
4、四条直线两两相交,且任意三条不交于同一点,则这四条直线共可构成的同位角有（ ）
（A）24组 （B）48组 （C）12组 （D）16组
四条直线共可构成四组不同的三条直线组,而每一三条直线组共可构成12对同位角,故共有4×12＝48组同位角. 选（B）
5、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差 ,则关于数据 ,的说法：（1）方差为 ；（2）平均数为2；（3）平均数为4；（4）方差为4 ,其中正确的说法是（ ）
（A）（1）与（2） （B）（1）与（3） （C）（2）与（4） （D）（3）与（4）
,∴ （3）正确

（1）正确 故选（B）
6、已知三角形的三边a、b、c的长都是整数,且 ,如果b＝7,则这样的三角形共有（ ）
（A）21个 （B）28个 （C）49个 （D）54个
当a=2时,有1个；当a=3时,有2个；当a=4时,有3个；当a=5时,
有4个；当a=6时,有5个；当a=7时,有6个,共有21个 故选（A）
7、如图,直线l ：y=x+1与直线 ： 把平面
直角坐标系分成四个部分,点 在（ ）
（A）第一部分 （B）第二部分
（C）第三部分 （D）第四部分
选（C）
8、已知实数a满足 ,那么 的值是（ ）
（A）2005（B）2006（C）2007（D）2008
解∵a≥2007,∴ ,∴ ,∴ =2007,
故选（C）
9、设分式 不是最简分数,那么正整数n的最小值可能是（ ）
（A）84 （B）68 （C）45 （D）115
设d是（n-13）与5n+6的一个公约数,则d｜(n-13),d｜(5n+6),∴d｜ ,∴d｜71,∵71是质数,∴d=71,∵d｜(n-13),∴n-13≥71,∴n≥84,n的最小值是84,选（A）
10、如图,P是△ABC内一点,BP,CP,AP的延长线分别与
AC,AB,BC交于点E,F,D.考虑下列三个等式：
（1） ； （2） ；
（3） .其中正确的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（1）正确
（2）正确
（3）正确 故选（D）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
11、已知对所有的实数x, 恒成立,
则m可取得的最大值为_______
当－1≤x≤2时, 的最小值为3,∵ ≥0,
∴当x=1时, 的最小值为3,∴3≥m,m的最大值为3.

12、《射雕英雄传》中,英姑对黄蓉说：“你算法自然精我百倍,
可是我问你：将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角, 每
三个字相加都是十五,如何排列?”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意,
法以灵兔,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.…”
请按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”中
4 9 2
3 5 7
8 1 6
解
13、军训基地购买苹果慰问学员,已知苹果总数用八进位制表示为 ,七进位制表示为 ,那么苹果的总数用十进位制表示为______________
220 ∵1≤a≤6,1≤b≤6,1≤c≤6, ,
63a+b-48c=0,b=3(16c-21a),∴b=0,3,6,经检验b=3符合题意,
∴b=3,c=4,a=3,
14、一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6
编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针
移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,
第n次移动n格,则不停留棋子的格子的编号有_________
2,4,5
尝试发现：（1）从不停留棋子的格子为2,4,5；
（2）棋子停留的格子号码每移动7次循环（即第k次与第(k+7)次停留同一格）.
证明：第k次移动棋子,移动的格子数为：1＋2＋3＋…＋k,第(k+7)次移动棋子,移动格子数为： 1＋2＋3＋…＋k+(k+1)+…+(k+7)
〔1＋2＋3＋…＋k+(k+1)+…+(k+7)〕-(1＋2＋3＋…＋k)=7k+28=7(k+4)
故第（k+7）次与第k次移动棋子停留格子相同.
三、解答题（本大题共2小题,每小题25分,共50分）
15、有40组CASIO卡片,每组均由C,A,S,I,O五张卡片按C,A,S,I,O顺序由上而下叠放而成,现将这40组卡片由上至下叠放在一起,然后把第一张丢掉,把第二张放在最底层,再把第三章丢掉,把第四张放在最底层,…,如此继续下去,直至最后只剩下一张卡片.
（1）在上述操作过程中,当只剩88张卡片时,一共丢掉了多少张卡片S?
（2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片?
（1）40组CASIO卡片共计200张,将200张卡片由上至下依次编号为：1,2,3,…,200,由操作法则知,当丢掉100张卡片时剩下卡片编号为2,4,6,…,200,若再丢掉12张卡片,涉及的卡片有24张,编号为2,4,6,…,48,丢掉12的卡片为2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,其中被丢掉的卡片S有两张（编号为18,38）.丢掉100张卡片时,有20张卡片S,所以当只剩88张卡片时,以供丢掉了22张卡片S.
（2）若只有128张卡片（ ）,则最后一张被丢掉的是编号为128的卡片.∵128＜200＜256,当丢掉72张卡片时,涉及卡片共144张,在剩下的128张卡片中,最后一张的编号为144.144＝5×28＋4,∴最后一张卡片为第29组的第四张卡片I.
16、如图△ABC,D是△ABC内一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线
求证：AB=CD.
证明：取BC中点T,AF的中点S,连GT,HT,HS,SM.
∵G,H,M分别为BD,AC,EF的中点
∴MS‖AE, ,HS‖CF, ,
∴HS=SM,∴∠SHM＝∠SMH
∵GT‖CD,HT‖AB,
∴GT‖HS,HT‖SM
∴∠SHM＝∠TGH,∠SMH＝∠THG
∴∠TGH＝∠THG
∴GT＝TH
∴AB=CD
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试
一、选择题1．设 , ,且 ,则代数式 的值为 （ B ）
5. 7. 9. 11.
提示： 是方程 两个不同根,故 .
2．如图,设 , , 为三角形 的三条高,若 , , ,则线段 的长为 （ D ）
. 4. . .
提示： ,可得 ,故 中由勾股定理得
3．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中依次取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 （ C ）
. . . .
提示：卡片一共有20种取法,其中 ,满足条件的有 种.
4．在△ 中, , , 和 分别是这两个角的外角平分线,且点 分别在直线 和直线 上,则 （ B ）
. .
. 和 的大小关系不确定.
提示： 都是等腰三角形.
5．现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为 ,则 的最小值为（ B ）
. . . .
提示：将价格从高到低排列,相邻价格之间的比值至少是
6． 已知实数 满足 ,则
的值为 （ D ）
. 2008. . 1.
提示： ,同理
,故 .
二、填空题1．设 ,则 _________.-2
提示：
2．如图,正方形 的边长为1, 为 所在直线上的两点,且 , ,则四边形 的面积为___________.
提示：
3．已知二次函数 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 , ,且 .设满足上述要求的 的最大值和最小值分别为 , ,则 __________.
提示： 满足条件.
4．依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是___________.1
提示：平方数为一位数的有3个,平方数为两位数的有6个,依此类推.
第二试（A）
一、已知 ,对于满足条件 的一切实数 ,不等式
恒成立.当乘积 取最小值时,求 的值.
设 ,则

= =
当 时, ,当 时, ,故 .
若 ,则 , ,不恒大于等于0,故 即 ,同理 .
当 时,
（1） 当 ,即 时,
,故 ,即 .
（2） 当 ,即 时,

综上所述, 最小值是 ,此时 或 .
二、如图,圆 与圆 相交于 两点, 为圆 的切线,点 在圆 上,且 .
（1）证明：点 在圆 的圆周上.
（2）设△ 的面积为 ,求圆 的的半径 的最小值.
(1)连接 ,则 ,又 ,故等腰
, .由于 为圆 的切线,
故弦切角 所夹劣弧长为 所夹劣弧长的2倍,即半径 所在直径通过弧 的中点,即点 在圆 上.
（2）连接 ,则 ,故 ,又 ,故 ,即 ,且当 为圆 的直径时可以取等号,故 的最小值是 .
三、设 为质数, 为正整数,且 求 , 的值.
将原等式整理为关于 的一元二次方程：
,由于 为正整数,则方程判别式 是完全平方数,即 为完全平方数,设 ,则
,即 ,由于 ,故 同为奇数或者同为偶数,且不同是被3整除.
当 时,检验得 不是完全平方数
当 时,检验得 不是完全平方数
当 时,由上面分析可知 共4种分解方式可能满足条件.
当 时, 不是整数,当 时, 不是整数,
当 或 时, 不是质数,
当 时, 是质数,此时只有 满足条件,
综上所述, , .
附：一.（B、C卷）已知 ,对于满足条件 的一切实数对 ,不等式 恒成立.当乘积 取最小值时,求 的值.
三．（C卷）设 为质数, 为正整数,且满足
,求 的值.
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分,每小题7分）
1. 设 ,则 （ ）
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB＝7,AC＝8,则BC＝ （ ）
A. . B. . C. . D. .

3．用 表示不大于 的最大整数,则方程 的解的个数为 （ ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4．设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 （ ）
A. . B. . C. . D. .

5．如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则 CBE＝ （ D ）
A. . B. . C. . D. .

6．设 是大于1909的正整数,使得 为完全平方数的 的个数是 （ ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1．已知 是实数,若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根,则 的最小值是____________.
2． 设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ,则四边形DECF的面积为______.
3．如果实数 满足条件 , ,则 ______.
4．已知 是正整数,且满足 是整数,则这样的有序数对 共有_____对.
第一试答案： ACCBDB；－3, ,－1,－7
第二试 （A）
一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B,与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ,求 和 的值.
解: （1）易求得点 的坐标为 ,设 , ,则 , .
设⊙P与 轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB＝OC×OD,则 .
因为 ,所以点 在 轴的负半轴上,从而点D在 轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).
（2）因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点 的坐标为 ,
即 .
又 ,所以
,解得 .
二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高, 、 分别是△ADC、△BDC的内心,AC＝3,BC＝4,求 .
解 作 E⊥AB于E, F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中,AC＝3,BC＝4, .
又CD⊥AB,由射影定理可得 ,故 ,
.
因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以 ＝ .
连接D 、D ,则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°,故∠ D ＝90°,所以 D⊥ D, .
同理,可求得 , . 所以 ＝ .
三．（本题满分25分）已知 为正数,满足如下两个条件：
①
②
证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法1 将①②两式相乘,得 ,
即 ,
即 ,
即 ,
即 ,
即 ,
即 ,即 ,
即 ,
所以 或 或 ,即 或 或 .
因此,以 为三边长可构成一个直角三角形.
证法2 结合①式,由②式可得 ,
变形,得 ③
又由①式得 ,即 ,
代入③式,得 ,即 .

,
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此,以 为三边长可构成一个直角三角形.


第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二． （本题满分25分） 已知△ABC中,∠ACB＝90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB.
解 因为BN是∠ABC的平分线,所以 .
又因为CH⊥AB,所以
,
因此 .
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以 ,因此C、F、H、B四点共圆.
又 ,所以FC＝FH,故点F在CH的中垂线上.
同理可证,点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF‖AB.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）已知 为正数,满足如下两个条件：
①
②
是否存在以 为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘,得 ,
即 所以 或 或 ,即 或 或 .
因此,以 为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.
解法2 结合①式,由②式可得 ,
变形,得 ③
又由①式得 ,即 ,
代入③式,得 ,即 .
,
所以 或 或 .
结合①式可得 或 或 .
因此,以 为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.
大哥!我真的尽力了!