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2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ).
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90
答:C.
因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处.
故选C.
2.已知 , ,且 ,则 的值等于( )
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9
答:C.
由已知可得 , .又
,
所以 ,
解得 .
故选C.
3.Rt△ABC的三个顶点 , , 均在抛物线 上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
答:B.
设点A的坐标为 ,点C的坐标为 ( ),则点B的坐标为 ,由勾股定理,得
,
,
,
所以 .
由于 ,所以 ,故斜边AB上高 .
故选B.
4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007
答:B.
根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过 次后,可得( +1)个多边形,这些多边形的内角和为( +1)×360°.
因为这( +1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为
34×(62-2)×180°=34×60×180°,
其余多边形有( +1)-34= -33(个),而这些多边形的内角和不少于( -33)×180°.所以
( +1)×360°≥34×60×180°+( -33)×180°,
解得 ≥2005.
当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了
58+33+33×58=2005(刀).
故选B.
5.如图,正方形 内接于⊙ ,点 在劣弧 上,连结 , 交 于点 .若 ,则 的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
答:D.
如图,设⊙ 的半径为 , ,则 , , .
在⊙ 中,根据相交弦定理,得 .
即 ,
所以 .
连结DO,由勾股定理,得
,
即 ,
解得 .
所以, .
故选D.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知 , , 为整数,且 + =2006, =2005.若 < ,则 + + 的最大值为 .
答:5013.
由 + =2006, =2005,得
+ + = +4011.
因为 + =2006, < , 为整数,所以, 的最大值为1002.
于是, + + 的最大值为5013.
7.如图,面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则 的值等于 .
答: .
设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则 .由△ADG ∽ △ABC,可得
作者: 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言
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2 2006全国初中数学竞赛试题及答案(全)
,
解得 .于是
,
由题意,a=28,b=3,c=48,所以 .
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.
答:104.
设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了 米.于是
,
且 ≤ ,
所以, ≤ < .
故x=13,此时 .
9.已知 ,且满足
( 表示不超过x的最大整数),则 的值等于 .
答:6.
因为 ,所以 , ,…, 等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以
= =…= =0,
= =…= =1,
所以 ,
≤ < .
故 ≤ < ,于是 ≤ < ,所以 6.
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .
答:282500.
设原来电话号码的六位数为 ,则经过两次升位后电话号码的八位数为 .
根据题意,有81× = .
记 ,于是
,
解得 .
因为 ≤ ≤ ,所以
≤ < ,
故 < ≤ .
因为 为整数,所以 =2.于是

所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11(A).已知 , , 为互质的正整数,且 ≤ , .
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的 .
(1) 满足条件. ……………………5分
(2)因为 , , 为互质的正整数,且 ≤ ,所以
,


当a=1时, ,这样的正整数b不存在.
当a=2时, ,故b=1,此时 .
当a=3时, ,故b=2,此时 .
当a=4时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=5时, ,故b=3,此时 .
当a=6时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=7时, ,故b=3,4,5,此时 , , .
当a=8时, ,故b=5,此时 .
所以,满足条件的所有分数为 , , , , , , .
…………………15分
12(A).设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式

及 , ②
求 的取值范围.
解法1:由①-2×②得
,
所以 .
当 时,

…………………10分
又当 = 时,由①,②得
, ③
, ④
将④两边平方,结合③得
,
化简得
,
故 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
……………15分
解法2:因为 , ,所以
= = ,
所以 .
又 ,所以 , 为一元二次方程

的两个不相等实数根,故
,
所以 .
当 时,

…………………10分
另外,当 = 时,由⑤式有
,

,或 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
…………………15分
13(A).如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K. 求证: .
证明:因为AC‖PB,所以 .又PA是⊙O的切线,所以 .故 ,于是
△KPE∽△KAP,
所以 ,
作者: 221.13.21.* 2006-5-3 12:29 回复此发言
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3 2006全国初中数学竞赛试题及答案(全)
即 .
………………5分
由切割线定理得
,
所以, KP=KB.
…………………10分
因为AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是
,
故 ,
即 .
…………………15分
14(A).2006个都不等于119的正整数 排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求 的最小值.
首先证明命题:对于任意119个正整数 ,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数
, ,…, , ①
若①中有一个是119的倍数,则结论成立.
若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为 和 ( ≤ < ≤ ),于是
,
从而此命题得证.
…………………5分
对于 中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为 ,所以
≥ . ②
…………………10分
取 ,其余的数都为1时,②式等号成立.
所以, 的最小值为3910.
…………………15分
11(B).已知△ 中, 是锐角.从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 ;从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 .当 和 均为正整数时,△ 是什么三角形?并证明你的结论.
设 , 均为正整数,则
,
所以,mn=1,2,3.
…………………5分
(1)当mn=1时, , ,此时 .所以 垂直平分 , 垂直平分 ,于是△ 是等边三角形.
(2)当mn=2时, , ,此时 ,或 ,所以点 与点 重合,或点 与点 重合.故 ,或 ,于是△ 是等腰直角三角形.
(3)mn=3时, , ,此时 ,或 .于是 垂直平分 ,或 垂直平分 .故 ,或 ,于是△ 是顶角为 的等腰三角形.
…………………15分
12(B).证明:存在无穷多对正整数 ,满足方程

证法1:原方程可以写为
,
于是
是完全平方数.
…………………5分
设 ,其中k是任意一个正整数,则 .
…………………10分
于是
,或 .
所以,存在无穷多对正整数 (其中k是正整数)满足题设方程.
…………………15分
证法2:原方程可写为
,
所以可设
(x是正整数), ①
取 . ②
…………………5分
① -②得

令 (y是任意正整数),则 .
…………………10分
于是

所以,存在无穷多对正整数 (其中y是任意正整数)满足题设方程.
…………………15分
13(B).如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX.求证: .
证明:设AX与⊙O相交于点 ,连结OB,OC, .又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M.
因为 ,所以
. ①
又由切割线定理得
. ②
…………………5分
由①,②得
,
于是
△XMA∽△ ,
所以

…………………10分
又 ,所以 ,于是

…………………15分
14(B).10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:n的最小值为6.
证明:设10个学生为 ,n个课外小组为 .
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为 ,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.
…………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 恰好参加 ,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组 的人数之和不小于 =30.
另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组 的人数不超过5n,故
≥ ,
所以 ≥ .
…………………10分
下面构造一个例子说明 是可以的.
, , ,
, , .
容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.
所以,n的最小值为6.
…………………15分