2011年初中数学竞赛试题已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:45:31
2011年初中数学竞赛试题已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.
2011年初中数学竞赛试题
已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.
2011年初中数学竞赛试题已知在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.P为△ABC中一点,且AP=根号3,BP=5,CP=2,.求△ABC的面积.
解题思路:
(1)先证明△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形;
(2)利用作对称图形的方法 求出△ABC的面积.
(1)在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC,AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AD=AC,且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°
∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°
而 ∠BAC=60°
∴ 在 △ABC 中,∠ACB = 90°
(2)分别作点P关于AC的对称点P1,
作点P关于AB的对称点P2,
作点P关于BC的对称点P3,
连AP1 连AP2 连P1P2,由对称性 知:
△AP1P2 是等腰三角形,且有AP1 = AP2 = √3,P1P2 = 3,∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为:S△P1AP2 = (3√3)/ 4.
同理,△BP2P3 是等边三角形,且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5,∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为:S△BP2P3 = (25√3)/ 4.
连CP1 连CP3,
则CP1 = CP = 2,CP3 = CP = 2,∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°,即P1、C、P3 共线.
在 △P1P2P3 中,P1P2 = 3,P1P3 = 4,P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△,其面积为:S Rt△P1P2P3 = 6.
∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=(3√3)/ 4 +(25√3)/ 4 + 6
= 7√3 + 6
由对称性 知:
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC
∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= (1/2)× (S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 )
= (1/2)× (7√3 + 6)
= (7√3 + 6)/ 2
即:△ABC的面积 为 (7√3 + 6)/ 2
(1)在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC,AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AD=AC,且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°
∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠...
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(1)在线段AB上截取AD=AC
∵ AB=2AC,AD=AC
∴ DB=DC
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AD=AC,且AD与AC的夹角∠BAC=60°
∴ △ADC 是等边三角形
∴ ∠ADC = 60°
∵∠ADC 是等腰△DBC 的一个外角
∴∠ADC = ∠ABC + ∠DCB
= 2∠ABC
则 60° = 2∠ABC
∴ ∠ABC = 30°
而 ∠BAC=60°
∴ 在 △ABC 中,∠ACB = 90°
(2)分别作点P关于AC的对称点P1,
作点P关于AB的对称点P2,
作点P关于BC的对称点P3,
连AP1 连AP2 连P1P2,由对称性 知:
△AP1P2 是等腰三角形,且有AP1 = AP2 = √3,P1P2 = 3,∠P1AP2 = 2∠BAC = 120°
易求得 等腰△P1AP2 的面积为:S△P1AP2 = (3√3)/ 4。
同理,△BP2P3 是等边三角形,且有BP2 = BP3 = P2P3 = 5,∠P2BP3 = 2∠ABC = 60°
易求得等边△BP2P3 的面积为:S△BP2P3 = (25√3)/ 4。
连CP1 连CP3,
则CP1 = CP = 2, CP3 = CP = 2,∠P1CP3 = 2∠ACB = 180°,即P1、C、P3 共线。
在 △P1P2P3 中,P1P2 = 3, P1P3 = 4,P2P3 = 5
∴ △P1P2P3 是Rt△,其面积为:S Rt△P1P2P3 = 6。
∴S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3
=(3√3)/ 4 +(25√3)/ 4 + 6
= 7√3 + 6
由对称性 知:
S△AP2B = S△APB
S△BP3C = S△BPC
S△AP1C = S△APC
∴ S△APB + S△BPC + S△APC
= (1/2)× (S△P1AP2 + S△BP2P3 + S Rt△P1P2P3 )
= (1/2)× (7√3 + 6)
= (7√3 + 6)/ 2
即:△ABC的面积 为 (7√3 + 6)/ 2
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