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第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初二 第2试
2006年4月16日 上午8：30至lO：30 得分___________
一、选择题(每小题4分,共40分．)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．下列四组根式中,是同类二次根式的一组是( )

2．要使代数式 有意义,那么实数x的取值范围是( )
3．以线段a=13,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a,c为梯形的两底,这样的梯形( )
(A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．



(英汉词典：Fig．figure的缩写,图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)


(A)是完全平方数,还是奇数． (B)是完全平方数,还是偶数．
(C)不是完全平方数,但是奇数． (D)不是完全平方数,但是偶数．
6．将任意一张凸四边形的纸片对折,使它的两个不相邻的顶点重合,然后剪去纸片的不重合部分,展开纸片,再一次对折,使另外的两个顶点重合,再剪去不重合的部分后展开,此时纸片的形状是( )
(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．
7．若a,b,c都是大于l的自然数,且 =252b,则n的最小值是( )
(A)42． (B)24． (C)21 (D)15



(英汉词典：two-placed number两位数；number数,个数；to satisfy满足；complete square完全平方(数)；total总的,总数)
9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜,其中歌曲J是新上榜的歌曲,箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况,“↑”表示上升,“↓”表示下降,不标注的则表明名次没有变化,已知每首歌的名次变化都不超过两位,则上星期排在第1,5,7名的歌曲分别是( )

(A)D,E,H． (B)C,F,I． (C)C,E,I． (D)C,F,H．
10．设n(n≥2)个正整数 , ,…, ,任意改变它们的顺序后,记作 , ,…, ,若P=( - )( - )( )…( 一 ),则( )
(A)P一定是奇数． (B)P一定是偶数．
(C)当n是奇数时,P是偶数． (D)当”是偶数时,P是奇数．
二、填空题(每小题4分,共40分．)
11．消防云梯的长度是34米,在一次执行任务时,它只能停在离大楼16米远的地方,则云梯能达到大楼的高度是______米．



15．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形,若m等于这个凸n边形对角线条数的 ,那么此n边形的内角和为_____．
16．某种球形病毒,直径是0.01纳米,每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒,假如这种病毒在人体中聚集到一定数量,按这样的数量排列成一串,长度达到1分米时,人就会感到不适,那么人从感染第一个病毒后,经过_______分钟,就会感到不适．(1米=10 纳米)


19．如图2,等腰△ABC中,AB=AC,P点在BC边上的高AD上,且 ,
BP的延长线交AC于E,若 =10,则 =______, =_______.

20．一个圆周上依次放有1,2,3,…,20共20个号码牌,随意选定一个号码牌(如8),从它开始,先把它拿掉,然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8,10,12,…),并一直循环下去,直到剩余两个号码牌时停止,则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______．
三、解答题(本大题共3小题,共40分．) 要求：写出推算过程．
21．(本小题满分10分)
如图3,正方形ABCD的边长为a,点E、F、G、H分别在正方形的四条边上,已知EF‖GH．EF=GH．
(1)若AE=AH= ,求四边形EFGH的周长和面积；
(2)求四边形EFGH的周长的最小值．

22．(本小题满分15分)
已知A港在B港的上游,小船于凌晨3:00从A港出发开往B港,到达后立即返回,来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中的速度为16千米／小时,水流速度为4千米／小时,在当晚23：OO时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间的距离.
23．(本小题满分15分)
在2,3两个数之间,第一次写上 ,第二次在2,5之间和5,3之间分别写上 和 ,如下所示：

第k次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 .
(1)请写出第3次操作后所得到的9个数,并求出它们的和；
(2)经过k次操作后所有数的和记为 ,第k+1次操作后所有数的和记为 ,写出 与 之间的关系式；
(3)求 的值.
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一．选择题(每小题4分)

二．填空题(每小题4分)

三、解答题
21．(1)如图1,连结HF．由题知四边形EFGH是平行四
边形,所以


又
所以
所以 (3分)


所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形,故∠EHG= ,四边形EFGH是矩形．
易求得

所以四边形EFGH的周长
为2 ,面积为 ．(5分)

(2)如图2,作点H关于AB边的对称点 ,连结 ,交AB于 ,连结
H．显然,点E选在 处时．EH+EF的值最小,最小值等于 .
(7分)
仿(1)可知当AE≠AH时,亦有
(8分)
所以


因此,四边形EFGH周长的最小值为2 ．
(10分)
22．设A、B两个港口之间的距离为L,显然
(1分)
(1)若小船在23：00时正顺流而下,则小船由A港到达下游80千米处需用

即19：00时小船在A港,那么在3：00到19：00的时间段内,小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了t小时,则逆流行驶用了(16一t)小时,所以

解得 t=6 (5分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离是120千米．
(7分)
(2)若小船在23：00时正逆流而上,则小船到达A港需再用

即小船在
内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同,而所用的时间与速度成反比,设小船顺流行驶用了 小时,则逆流行驶用了 小时,所以

解得 (12分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米． (14分)
综上所述,A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米． （15分)
23．(1)第3次操作后所得到的9个数为

它们的和为 (4分)
(2)由题设知 =5,则


(10分)
(3)因为

所以


(15分)

你是否企图考倒老师？