把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 09:29:24
把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射
把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ．此时,AP•CQ= ；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α．其中0°＜α＜45°,问AP•CQ的值是否改变?说明你的理由；
（3）在（2）的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式；
（4）若BP=1,求两块三角板的重叠面积.
（只要第4小问）
把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射
（1）8,8；
∵∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°,
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD,
∵AB=BC=4,
∴斜边中点为O,
∴AP=PD=2,
∴AP×CQ=2×4=8；
将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α．
∵在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a,
∠CDQ=90°-a,
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴
AP
AD
=
CD
CQ
,
∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（
1
2
AC）2=8．
（2）当0°＜α≤45°时,如图2,过点D作DM⊥AB于M,DN⊥BC于N,
∵O是斜边的中点,
∴DM=DN=2,
∵CQ=x,则AP=
8
x
,
∴S△APD=
1
2
•
8
x
•2=
8
x
,S△DQC=
1
2
x×2=x,
∴y=8-
8
x
-x（2≤x＜4）,
当45°＜α＜90°时,如图3,过点D作DG⊥BC于G,DG=2
∵CQ=x,
∴AP=
8
x
,
∴BP=
8
x
-4
∵
BP
DG
=
BM
MG
,
即
8
x
-4
2
=
2-MG
MG
,MG=
2x
4-x
…（6分）
∴MQ=
2x
4-x
+（2-x）=
x2-4x+8
4-x
∴y=
x2-4x+8
4-x
（0＜x＜2）；
（3）在图（2）的情况下,
∵PQ∥AC时,BP=BQ,
∴AP=QC
∴x=
8
x
,解得x=2
2
,
∴当x=2
2
时,y=8-
8
2
2
-2
2
=8-4
2
．
（1）根据等腰直角三角形的性质可知∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°,故可得出△APD∽△CDQ,由相似三角形的对应边成比例即可求出AP•CQ的值,当将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α,同理可得△APD∽△CDQ,故可得出结论；
（2）由于三角板DEF的旋转角度不能确定,故应分0°＜α≤45°与45°＜α＜90°时两种情况进行讨论,①当0°＜α≤45°时,过点D作DM⊥AB于M,DN⊥BC于N,则DM=DN=2,由于CQ=x,则AP=
8
x
,再用x表示出△APD及△DQC的面积即可；②当45°＜α＜90°时,过点D作DG⊥BC于G,DG=2,用x表示出AP及BP的值,再根据
BP
DG
=
BM
MG
即可求出MG及MQ的值,进而可得出结论；
（3）在图（2）的情况下,根据PQ∥AC时,BP=BQ,即可求出x的值,进而得出结论．
ee
好简单