三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1⊥平面ABC侧面对角线AB1⊥BC1,则异面直线CA1与AB1所成角的度

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 22:33:28
三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1⊥平面ABC侧面对角线AB1⊥BC1,则异面直线CA1与AB1所成角的度三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1⊥平面ABC

三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1⊥平面ABC侧面对角线AB1⊥BC1,则异面直线CA1与AB1所成角的度
三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1⊥平面ABC侧面对角线AB1⊥BC1,则异面直线CA1与AB1所成角的度

三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,AA1⊥平面ABC侧面对角线AB1⊥BC1,则异面直线CA1与AB1所成角的度

延长CB到D,使BD=CB=a. 连接B1D. 由于DB = C1B1, 且DB//C1B1,    

故BDB1C1为平行四边形,从而知:BC1//DB1.                                                       (1)

 故角DB1A =AB1与BC1所成的角., 因而角DB1A = 90度.                                    (2)

连接AD.

延长BA到E, 连接EA1,与(1)同理可证明: EA1 //AB1.

故角EA1C = CA1与AB1所成角.                                                                  (3)

连接EC.

在三角形ABD 和三角形EAC中:AB =BD = EA =AC,   角ABD = 角EAC = 120度,

即两三角形全等, 故:AD = EC.

在三角形:EA1C 和三角形DB1A中,  EC = AD,  EA1 = A1C = DB1 = B1A = 侧面对角线长.

即上述两三角形全等, (边, 边, 边)

故角EA1C = 角DB1A.                                                                               (4)   

故:异面直线CA1与AB1所成角 = 90度.    (由 (2) ,(3), (4)  )