已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 11:51:39
已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
-1/2-a/4+acosx+sin^2x
=-1/2-a/4+acosx+1-cos^2x
=-cos^2x+acosx+1/2-a/4
=-(cosx+a/2)^2＋a^2/4-a/4+1/2
当－2＜＝a＜＝0时 能达到 cosx+a/2＝0
最大值为 a^2/4-a/4+1/2＝2
整理得 a＾2－a－6＝0 a＝3,a＝－2 所以 a＝－2
所以｜a｜＞＝2
当a＞＝2时 因为(0≤x≤π/2)
最大值为 －（0＋a／2）＾2＋a^2/4-a/4+1/2＝2
整理得 可得a＝－6 与 a＞＝2矛盾 无解
当a＜＝－2时
最大值为 －（1＋a／2）＾2＋a^2/4-a/4+1/2＝2
整理得 －a／4－5／2＝0 a＝－10
所以 a的值为 2或－10
时间太晚了,计算可能有错,你自己再算一下,解题思路就是这样的
先利用(sinx)^2+(cosx)^2=1，把函数变形为：f(x)= -(cosx)^2+acosx+1/2-a/4
再利用cosx在区间(0≤x≤π/2)上单调递减，所以cosx的取值范围是0≤cosx≤1
再令cosx=t
得到f(t)=-t^2+at+1/2-a/4（0≤t≤1）一个二次函数
它的对称轴是t=a/2
讨论它的位置关系
(1)当...
全部展开
先利用(sinx)^2+(cosx)^2=1，把函数变形为：f(x)= -(cosx)^2+acosx+1/2-a/4
再利用cosx在区间(0≤x≤π/2)上单调递减，所以cosx的取值范围是0≤cosx≤1
再令cosx=t
得到f(t)=-t^2+at+1/2-a/4（0≤t≤1）一个二次函数
它的对称轴是t=a/2
讨论它的位置关系
(1)当0≤a/2≤1时,f(t)的最大值是f(-a/2) => -4a^2-a-7=0
解得：a无解
(2)当1≤a/2时，f(t)的最大值是f(1) => -1+a+1/2-a/4=2 =>a=10/3
(3)当 a/2≤0时，f(t)的最大值是f(0) => a=-6
所以综上所得a=10/3或者a=-6
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