关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt解方程y''-3y'+2y=sine^(-x),

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 00:29:30

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关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt
解方程y''-3y'+2y=sine^(-x),

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x和0谁是上限谁是下限啊,我当作x是上限,0是下限
等式右边的那个积分需要先换元,令x-t=u,则dt=-du,t从0变到x,则u从x变到0
那个积分可化为：-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
原方程化为：∫[x,0]f(t)dt＝x+x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
两边对x求导得：f(x)=1+∫[x,0]f(u)du+xf(x)-xf(x),即f(x)=1+∫[x,0]f(u)du （1）
两边再对x求导得：f'(x)=f(x),这就是微分方程
将x=0代入（1）得：f(0)=1,这就是初始条件
下面解微分方程：f'(x)=f(x),即f'(x)/f(x)=1,得ln|f(x)|=x+ln|C|
因此方程解为f(x)=Ce^x,将初始条件代入可得C＝1,f(x)=e^x

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