求n趋向无穷时该式的极限：1/(n+I)+1/(n+2)+.+1/(n+n)不必要写出来,给个思路就行,比如怎么放缩什么的.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 10:41:43
求n趋向无穷时该式的极限：1/(n+I)+1/(n+2)+.+1/(n+n)不必要写出来,给个思路就行,比如怎么放缩什么的.
求n趋向无穷时该式的极限：
1/(n+I)+1/(n+2)+.+1/(n+n)
不必要写出来,给个思路就行,比如怎么放缩什么的.
求n趋向无穷时该式的极限：1/(n+I)+1/(n+2)+.+1/(n+n)不必要写出来,给个思路就行,比如怎么放缩什么的.
将1/n提出来,得到1/n[1/(1+1/n)+1/(1+2/n)...1/(1+n/n)],这相当于在[0,1]中对函数1/(1+x)做微积分（就是分为无数的无限小的矩形再求面积和,运用了定积分的概念）
所以=积分（上限1,下限0）dx/(1+x)=ln2
这个不是用缩放，可以用定积分定义或者调和级数做。
定积分定义的话
函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份，分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义，和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]} <...
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这个不是用缩放，可以用定积分定义或者调和级数做。
定积分定义的话
函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份，分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义，和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k)，通项相等，也就是说你的式子等于上面的和式。
于是
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2
调和级数的话
1+1/2+1/3+....1/n=ln(n+1)+r
1+1/2+1/3+.....1/2n=ln(2n+1)+r
两者相减得
1/(n+1)+1/(n+2)+...1/2n=ln(2n+1)-ln(n+1)=ln[(2n+1)/(n+1)]
取极限得结果为ln2
可参阅http://baike.baidu.com/view/1179291.htm
收起
我还是撤掉好了，楼上两位写的很好~