数字不同的两位数将其数字交换后,得到一个新的两位数,这两个数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.查过了,方程是对的,但是他不说清楚每一步为什么这样做,我想每一步都弄懂.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/06 00:26:10
数字不同的两位数将其数字交换后,得到一个新的两位数,这两个数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.查过了,方程是对的,但是他不说清楚每一步为什么这样做,我想每一步都弄懂.
数字不同的两位数将其数字交换后,得到一个新的两位数,这两个数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.
查过了,方程是对的,但是他不说清楚每一步为什么这样做,我想每一步都弄懂.
数字不同的两位数将其数字交换后,得到一个新的两位数,这两个数的平方差是完全平方数,求所有这样的两位数.查过了,方程是对的,但是他不说清楚每一步为什么这样做,我想每一步都弄懂.
假设十位和个位的数字为a、b
不妨设a>=b>0
则两个数的平方差是：(10a+b)²-(10b+a)²=(9a-9b)(11a+11b)=9*11(a-b)(a+b)
11是素数,要使平方差是完全平方数,至少需要(a-b)(a+b)是11的倍数,
那么(a-b)是11的倍数 或a+b是11的倍数
注意到a-b
假设十位和个位的数字为a、b（a、b可在十位也可在个位），而9>=a>b>=1,
则两个数的平方差是：
(10*a+b)^2-(10b+a)^2=100a^2+20ab+b^2-(100b^2+20ab+a^2)=99(a^2-b^2)=3^2*11*(a+b)(a-b)
要使上数是完全平方数，则因为a-b<>11或0（要是0，换位后就不是一个“新的两位数”了），
...
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假设十位和个位的数字为a、b（a、b可在十位也可在个位），而9>=a>b>=1,
则两个数的平方差是：
(10*a+b)^2-(10b+a)^2=100a^2+20ab+b^2-(100b^2+20ab+a^2)=99(a^2-b^2)=3^2*11*(a+b)(a-b)
要使上数是完全平方数，则因为a-b<>11或0（要是0，换位后就不是一个“新的两位数”了），
所以a+b=11，所以a-b=1
（或者a-b=4 或9，这两种可能都与a+b=11矛盾）
所以a=6,b=5
所以所有这样的两位数只有两个56和65
实际上应该是a+b=11k,a-b=m^2k(k>=1,m>=1)
a=m^2k+b=11k-b,b=k(11-m^2)/2,
m=1,b=5k,>>>k=1,>>>b=5,>>>a=6
m=2,b=7k/2不合要求（k不是整数）
m=3,b=k,a=11k-b=10k不合要求（k不为零）
m不大于3，否则b小于零
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解设原数十位为a，个位为b。
(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)
∵9=3^2
∴a-b也为某个数的平方
∵a、b均为个位数
∴a-b=1，4，9
∴为21；32；43；54；65；76；87；98；51；62；73；84；95。
以上所有两位数均可以反过来...为什么要设成（10a+b）-（10b+a）？十位为a，个位...
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解设原数十位为a，个位为b。
(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)
∵9=3^2
∴a-b也为某个数的平方
∵a、b均为个位数
∴a-b=1，4，9
∴为21；32；43；54；65；76；87；98；51；62；73；84；95。
以上所有两位数均可以反过来...
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