概率论与数理统计(浙大第四版)的一个证明题设f(x),g(x)都是概率密度函数,求证 h(x) = af(x) + (1 - a)g(x) 也是一个概率密度函数.其中0

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:17:36
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概率论与数理统计(浙大第四版)的一个证明题
设f(x),g(x)都是概率密度函数,求证 h(x) = af(x) + (1 - a)g(x) 也是一个概率密度函数.其中0

概率论与数理统计(浙大第四版)的一个证明题设f(x),g(x)都是概率密度函数,求证 h(x) = af(x) + (1 - a)g(x) 也是一个概率密度函数.其中0
因为f(x),g(x)都是概率密度函数,
所以有:
f(x)≥0,g(x)≥0
因为0≤a≤1
所以:h(x)≥0
又有:
∫(-∞,+∞)f(x)dx=∫(-∞,+∞)g(x)dx=1
所以:
∫(-∞,+∞)h(x)dx
=∫(-∞,+∞)[af(x)+(1-a)g(x)]dx
=a∫(-∞,+∞)f(x)dx+(1-a)∫(-∞,+∞)g(x)dx
=a+(1-a)
=1
所以h(x)=af(x)+(1-a)g(x)也是一个概率密度函数.

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