一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义（非零子式最高阶数）和分块矩阵证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/07 21:49:36
一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义（非零子式最高阶数）和分块矩阵证明.
一道关于秩的线性代数证明题,
已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).
要求用秩的定义（非零子式最高阶数）和分块矩阵证明.
一道关于秩的线性代数证明题,已知矩阵A=C的转置*C,C为m*n矩阵,证明r(A)=r(C).要求用秩的定义（非零子式最高阶数）和分块矩阵证明.
有不懂的再问我吧
PS:开始证的时候还没注意,后来发现我用了C是实矩阵的条件,但是楼主没给.考虑了一下,觉得这个条件是必要的,因为若C为复矩阵,可以举出反例如下：
C=1 0
i 0
楼主应该可以看出毛病了~
这道题既然是用秩的定义来做，不妨就用构造函数的方法。
证明：要证明r(A)=r(C) 则需证r(C的转置*C)=r(C)
构造C的转置*C*X=0 和CX=0
则只需证明这两个方程组同解即可。
所以，设a是CX=0的解 那么显然a同样是C的转置*C*X=0的解
另一方面 若a是C的转置*C*X=0的...
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这道题既然是用秩的定义来做，不妨就用构造函数的方法。
证明：要证明r(A)=r(C) 则需证r(C的转置*C)=r(C)
构造C的转置*C*X=0 和CX=0
则只需证明这两个方程组同解即可。
所以，设a是CX=0的解 那么显然a同样是C的转置*C*X=0的解
另一方面 若a是C的转置*C*X=0的解，则C的转置*C*a=0，左乘C的转置，得到a的转置*C的转置*C*a=0，即（C*a）的转置*C*a=0，从而C*a=0，a是CX=0的解。
证得两齐次线性方程组同解，所以n-r(C的转置*C)=n-r(C)=n-r（A）
所以
r(A)=r(C).
另：此做法确然无误，足可采信。
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