如图：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE、AB交于点F,EG⊥AB.求证：（1）EG=AC （2）EF=FD

如图：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE、AB交于点F,EG⊥AB.求证：（1）EG=AC （2）EF=FD
如图：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE、AB交于点F,EG⊥AB.
求证：（1）EG=AC （2）EF=FD

如图：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°分别以AB,AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE、AB交于点F,EG⊥AB.求证：（1）EG=AC （2）EF=FD
1,因为∠BAC=30°∠ACB=90°
所以BC等于AB的一半
因为正△ABE,EG⊥AB,所以三线合一BG等于AB的一半.
因为∠CBA=∠EBA=60°
所以△ABC全等于△BEG
所以EG=AC
2,过D作DH‖ BC交AB于H,
设BC=1
∴AB=2
AC=AD=√3
∵∠BAC+∠BAE=90°
∴DH‖AE （1）
∵DH⊥AC
∴BH=AH=1
∵AH=1
AD=√3
∠BAD=90°,
∴DH=2=AE（2）
由（1）,（2）知：
四边形ADHE是平行四边形.
AH,DE是两条对角线相互平分,
∴EF=DF.

过D作DH‖BC交AB于H，
设BC=1，∴AB=2，AC=AD=√3，
由∠BAC+∠BAE=90°，∴DH‖AE。（1）
由DH⊥AC，∴BH=AH=1
由AH=1，AD=√3，∠BAD=90°，
∴DH=2=AE（2）
由（1），（2）知：
四边形ADHE是平行四边形。
AH，DE是两条对角线相互平分，
∴EF=DF。...

全部展开

过D作DH‖BC交AB于H，
设BC=1，∴AB=2，AC=AD=√3，
由∠BAC+∠BAE=90°，∴DH‖AE。（1）
由DH⊥AC，∴BH=AH=1
由AH=1，AD=√3，∠BAD=90°，
∴DH=2=AE（2）
由（1），（2）知：
四边形ADHE是平行四边形。
AH，DE是两条对角线相互平分，
∴EF=DF。

收起

证明 一 ∵正△ABE
∴ AB = AE ①
∠ EAG = 60°
∵ EG⊥AB
∴ ∠ EGA = 90°
∵ ∠ACB=90°
∠BAC =30°
∴ ∠ABC =60 °
∴ ∠ ABC =∠ EAG = 60° ...

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证明 一 ∵正△ABE
∴ AB = AE ①
∠ EAG = 60°
∵ EG⊥AB
∴ ∠ EGA = 90°
∵ ∠ACB=90°
∠BAC =30°
∴ ∠ABC =60 °
∴ ∠ ABC =∠ EAG = 60° ②
∠ EGA = ∠ACB=90° ③
∴ △ ABC ≌ △ EAG （AAS）
∴ AC =EG
二 过D作DH‖ BC交AB于H，
设BC=1
∴AB=2
AC=AD=√3
∵∠BAC+∠BAE=90°
∴DH‖AE （1）
∵DH⊥AC
∴BH=AH=1
∵AH=1
AD=√3
∠BAD=90°，
∴DH=2=AE（2）
由（1），（2）知：
四边形ADHE是平行四边形。
AH，DE是两条对角线相互平分，
∴EF=DF。

收起

ABE是正三角形，EG垂直AB,G是AB中点，BG=BC,三角形BEG全等于三角形BAC。EG=AC
BAD是90°，AD平行EG，EG=AC=AD，EFG全等于DFA，DF=EF

（1）△ABE为正三角形
EG⊥AB
所以：∠BED=30°，AB=BE
∠BAC=30°
所以△BGE≌△BCA
所以：EG=AC
（2）过D作DH‖BC交AB于H，
设BC=1，∴AB=2，AC=AD=√3，
由∠BAC+∠BAE=90°，∴DH‖AE。（1）
由DH⊥AC，∴BH=AH=1
由AH=1，AD=√...

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（1）△ABE为正三角形
EG⊥AB
所以：∠BED=30°，AB=BE
∠BAC=30°
所以△BGE≌△BCA
所以：EG=AC
（2）过D作DH‖BC交AB于H，
设BC=1，∴AB=2，AC=AD=√3，
由∠BAC+∠BAE=90°，∴DH‖AE。（1）
由DH⊥AC，∴BH=AH=1
由AH=1，AD=√3，∠BAD=90°，
∴DH=2=AE（2）
由（1），（2）知：
四边形ADHE是平行四边形。
AH，DE是两条对角线相互平分，
∴EF=DF。

收起

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴∠ABC=60°
∵△ABE是正三角形
∴AB=BE=AE，∠ABE=∠BAE=∠BEA=60°
∴∠ABC=∠ABE=60°
∵EG⊥AB，∠ACB=90°
∴∠ACB=∠EGB=90°
∵AB=BE，∠ACB=∠EGB，∠ABC=∠ABE
∴Rt△ABC和Rt△EGB全等（角角边）
∴EG=AC