已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值

已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值
已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值

已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值
f(x)是开口向上的抛物线
对称轴x=a/2
(1) 当a/2≤0,即a≤0时,单增
f(x)最小=f(0)=a²-2a+2=3
a²-2a-1=0
解得a=1±√2
所以a=1-√2
(2) 当0≤a/2≤2,即0≤a≤4时
f(x)最小=f(a/2)=-2a+2=3
解得a=-1/2<0
不成立
(3) 当a/2≥2,即a≥4时,单减
f(x)最小=f(2)=16-8a+a²-2a+2=3
a²-10a+15=0
解得a=5±√10
所以a=5+√10
综上：a=1-√2或5+√10

y=4x^2-4ax+(a^2-2a+2)=(2x-a)^2+(-2a+2),对称轴在x=a/2
(1).若0≤a≤4,x=a/2在区间[0,2]内，
y在[0,2] 上的最小值为y(a/2)=-2a+2=3,
a=-1/2(不合条件0≤a≤4，舍去);
(2).若a<0,x=a/2在区间[0,2]左边，
y在[0,2] 上的最小值为y(0)=a^2-2a+...

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y=4x^2-4ax+(a^2-2a+2)=(2x-a)^2+(-2a+2),对称轴在x=a/2
(1).若0≤a≤4,x=a/2在区间[0,2]内，
y在[0,2] 上的最小值为y(a/2)=-2a+2=3,
a=-1/2(不合条件0≤a≤4，舍去);
(2).若a<0,x=a/2在区间[0,2]左边，
y在[0,2] 上的最小值为y(0)=a^2-2a+2=3,
a=1-√2，或a=1+√2(舍去);
(3).若a>4,x=a/2在区间[0,2]右边，
y在[0,2] 上的最小值为y(2)=a^2-10a+18=3,
a=5+√10，或a=5-√10(舍去)。
a=1-√2，或a=5+√10。

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0

显然a≠0，因为二次项的系数4>0，所以函数图像（抛物线）的开口向上。若3为函数的最小值，显然也不符合题意。所以考虑函数在区间[0,2]上是增函数或减函数两种情况，即f(0)=3或f(2)=3，分别求的a=1±根号下2或a=5±根号下10，经验证（利用对称轴公式），a=1-根号下2,a=5±根号下10均符合题意。所以a=1-根号下2或a=5±根号下10。...

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显然a≠0，因为二次项的系数4>0，所以函数图像（抛物线）的开口向上。若3为函数的最小值，显然也不符合题意。所以考虑函数在区间[0,2]上是增函数或减函数两种情况，即f(0)=3或f(2)=3，分别求的a=1±根号下2或a=5±根号下10，经验证（利用对称轴公式），a=1-根号下2,a=5±根号下10均符合题意。所以a=1-根号下2或a=5±根号下10。

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考点：函数单调性的性质；函数的值域．专题：计算题；分类讨论；运动思想．分析：函数f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0，2]上有最小值3，对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的值．函数f（x）的对称轴为 x=a2
①当 a2≤0即a≤0时fmin（x）=f（0）=a2-2a+2=3解得a=1± 2
a≤0∴ a=1-2...

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考点：函数单调性的性质；函数的值域．专题：计算题；分类讨论；运动思想．分析：函数f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0，2]上有最小值3，对函数进行配方，对对称轴是否在区间内进行讨论，从而可知函数在何处取得最小值，解出相应的a的值．函数f（x）的对称轴为 x=a2
①当 a2≤0即a≤0时fmin（x）=f（0）=a2-2a+2=3解得a=1± 2
a≤0∴ a=1-2
②当0＜ a2＜2即0＜a＜4时 fmin(x)=f(a2)=-2a+2=3解得 a=-12
∵0＜a＜4故 a=-12不合题意
③当 a2≥2即a≥4时fmin（x）=f（2）=a2-10a+18=3解得 a=5±10
∴ a=5+10a≥4∴ a=5+10
综上： a=1-2或 5+10点评：考查二次函数在闭区间上的最值问题中的动轴定区间上的最值问题，体现了分类讨论和运动变化的思想方法，属难题．

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