设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/26 15:45:32
设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x

设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.

设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a∈R.若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8
f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a
∵在(-∞,0)上为增函数
∴x在(-∞,0)上时,f'(x)>0
6x^2-6(a+1)x+6a>0
x^2-(a+1)x+a)>0
(x-1)(x-a)>0
当a>1时,0<x<1或x>a,x不在(-∞,0)内,不和题意
当a<1时,a<x<0
所以a<0

先求出函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8的导函数
f'(x)=6x^2-3(a+1)x+6a
当x<0时,f'(x)>0
根据二次函数求极值的知识就可以解出a的取值范围。

依题意得
f'(x)>0
6x² - 6(a+1)x + 6a >0
(x-1)(x-a)>0
当x<0时上式成立
分类
当a≥1时,满足条件"当x<0时(x-1)(x-a)>0成立"
当a<1时,a须满足a≥0才能使当x<0时(x-1)(x-a)>0成立
结论:满足题意的a的取值范围是a≥0