已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数) 1.设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式2.设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 00:07:02
已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数) 1.设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式2.设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数)
1.设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式
2.设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数) 1.设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式2.设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围
1,当a=0,f(x)=-|x|-1在[1,2]上最小值为-3
当a不等于0,只需讨论x>0的情况.
因为x属于【1.2】,所以可以去绝对值,然后配方得：
f(x)=ax^2-x+2a-1=a(x-1/2a)^2+2a-1/4a-1
（i)当1/2a>2,g(a)=f（2）=6a-3
（ii）当1/2a
：（1）a=1，f（x）=x2-|x|+1= x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0 = (x-1 2 )2+3 4 ，x≥0 (x+1 2 )2+3 4 ，x＜0 （2分）
∴f（x）的单调增区间为（1 2 ，+∞），（-1 2 ，0）；f（x）的单调减区间为（-∞，-1 2 ），（0，1 2 ）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2...
全部展开
：（1）a=1，f（x）=x2-|x|+1= x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0 = (x-1 2 )2+3 4 ，x≥0 (x+1 2 )2+3 4 ，x＜0 （2分）
∴f（x）的单调增区间为（1 2 ，+∞），（-1 2 ，0）；f（x）的单调减区间为（-∞，-1 2 ），（0，1 2 ）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-1 2a )2+2a-1 4a -1
100＜1 2a ＜1，即a＞1 2 f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
201≤1 2a ≤2，即1 4 ≤a≤1 2 时，g(a)=f(1 2a )=2a-1 4a -1
301 2a ＞2，即0＜a＜1 4 时f（x）在[1，2]上是减函数：g（a）=f（2）=6a-3
综上可得g(a)= 6a-3 0＜a＜1 4 2a-1 4a -1 1 4 ≤a≤1 2 3a-2 a＞1 2 （10分）
（3）h(x)=ax+2a-1 x -1在区间[1，2]上任取x1、x2，
则h(x1)-h(x2)=(ax2+2a-1 x2 -1)-(ax1+2a-1 x1 -1)
=(x2-x1)(a-2a-1 x1x2 )=x2-x1 x1x2 [ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
∵h（x）在[1，2]上是增函数
∴h（x2）-h（x1）＞0
∴（*）可转化为ax1x2-（2a-1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]
且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a-1
10当a=0时，上式显然成立
20a＞0x1x2＞2a-1 a ，由1＜x1x2＜4得2a-1 a ≤1，解得0＜a≤1
30a＜0x1x2＜2a-1 a 2a-1 a ≥4，得-1 2 ≤a＜0
所以实数a的取值范围是[-1 2 ，1]（16分）
收起