已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R）,若对于任意x属于【- 1,1】,都有f(x)>=0成立,则实数a的值为多少最好用导数解决
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 00:10:05
已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R）,若对于任意x属于【- 1,1】,都有f(x)>=0成立,则实数a的值为多少最好用导数解决
已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R）,若对于任意x属于【- 1,1】,都有f(x)>=0成立,则实数a的值为多少
最好用导数解决
已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R）,若对于任意x属于【- 1,1】,都有f(x)>=0成立,则实数a的值为多少最好用导数解决
若对于任意x属于【- 1,1】,都有f(x)>=0成立,则f(x)的最小值>=0,要求最值,就需要知道函增减关系,对函数f(x）求导,f’(x）=3ax^2-3,f’(x）=0时取极值,3ax^2-3=0,得x=±1/根号下a（a>0易证,将x=1带入函数得a-2≥0）
当1≤x≤0时,x=-1/根号下a有极值,
-1≤x≤-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0,函数递增,
0≥x≥-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3
已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R），对于任意x属于【- 1,1】，都有f(x)>=0成立
（一）当x=0时，f(x)=ax^3-3x+1=a*0-3*0+1=1≥0,即a取任何值f(x)=1恒大于0
（二）当-1≤x＜0时
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1，a≤3/x^2-1/x^3
在[-1，0)区间，“3/x^2”是递增的...
全部展开
已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R），对于任意x属于【- 1,1】，都有f(x)>=0成立
（一）当x=0时，f(x)=ax^3-3x+1=a*0-3*0+1=1≥0,即a取任何值f(x)=1恒大于0
（二）当-1≤x＜0时
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1，a≤3/x^2-1/x^3
在[-1，0)区间，“3/x^2”是递增的，“-1/x^3”也是递增的，所以“3/x^2-1/x^3”也是递增的
所以当x=-1时，3/x^2-1/x^3=3/(-1)^2-1/(-1)^3=3-(-1)=4为最小值
所以a≤4
（三）当0＜x≤1时
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1，a≥3/x^2-1/x^3
在(0，1]区间，“3/x^2”递减，“-1/x^3”递增，不能用单调性找出最大值
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1
a≥3/x^2-1/x^3=1/x^2*(3-1/x)
根据ai≥0，（a1+a2+…+an）/n≥n次根号(a1a2......an)
3=1/(2x)+1/(2x)+(3-1/x)≥3次根号[1/(4x)^2*(3-1/x) ]
(当且仅当1/(2x)=3-1/x,x=3/8时取等号）
得：1/x^2*(3-1/x)≤4, 即1/x^2*(3-1/x)的最大值是4,
所以a≥4
综上，只有a=4时才能使f(x)≥0总成立
收起
f(-1)=4-a >=0 a<=4
f(1/2)=a/8-1/2 >=0 a>=4
特殊点法