证明函数f(x)＝x的4次方﹢1是偶函数且在[0,正无穷]上是增加的

证明函数f(x)＝x的4次方﹢1是偶函数且在[0,正无穷]上是增加的
证明函数f(x)＝x的4次方﹢1是偶函数且在[0,正无穷]上是增加的

证明函数f(x)＝x的4次方﹢1是偶函数且在[0,正无穷]上是增加的
这个函数定义域是R；
f(－x)=(－x)的4次方＋1=x的4次方＋1=f(x)
这个函数是偶函数.
设：x1>x2>0,则：
f(x1)－f(x2)
=[x1的4次方＋1]－[x2的4次方＋1]
=[x1的4次－x2的4次方]
=(x1²－x2²)(x1²＋x2²)
=(x1－x2)(x1＋x2)(x1²＋x2²)
因为x1>x2>0,则：x1－x2>0、x1＋x2>0、x1²＋x2²>0
则：
f(x1)－f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
所以这个函数在[0,＋∞)上递增.

f(x)=x^4+1
f(-x)=(-x)^4+1=x^4+1=f(x)
∴函数f(x)=x^4+1是偶函数
f′(x)=4x³
当x≥0时
4x³≥0
∴函数f(x)=x^4+1在[0,+∞]上是增加的

1)显然定义域是R 关于原点对称
又f(-x)=(-x)⁴+1=x⁴+1=f(x)
∴f(x)是偶函数
2)设0≤x1∴f(x1)-f(x2)=x1⁴+1-x2⁴-1=(x1²+x2²)(x1²-x2²)=(x1²+x2²)(x1+x2)(x1-x2...

全部展开

1)显然定义域是R 关于原点对称
又f(-x)=(-x)⁴+1=x⁴+1=f(x)
∴f(x)是偶函数
2)设0≤x1∴f(x1)-f(x2)=x1⁴+1-x2⁴-1=(x1²+x2²)(x1²-x2²)=(x1²+x2²)(x1+x2)(x1-x2)
∵0≤x10 x1+x2>0 x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0 即：f(x1)∴f(x)在[0,+∞)上是增函数

收起

f(x)=x^4+1
f(-x)=(-x)4+1=x^4+1=f(x)所以f(x)为偶函数
f'(x)=3x^3当X>0时f'(x)>0，则在R正上递增

f（-x）＝（-X）的四次方+1＝X的四次方+1＝f（x）故为偶函数
f'（x）＝4x的3次方，x＝0时，f'（X）＝0，当x＞0时，f'（x）＞0，故在0到正无穷为增函数

f(-x)=(-x)^4﹢1=x^4﹢1=f(x) 函数f(x)＝x的4次方﹢1是偶函数
设x1、x2在区间[0，正无穷]上,且x1f(x1)-f(x2)=(x1)^4﹢1-((x2)^4﹢1)=(x1)^4-(x2)^4=((x1)^2-(x2)^2)((x1)^2+(x2)^2)=((x1)-(x2))((x1)+(x2))((x1)^2+(x2)^2)
x...

全部展开

f(-x)=(-x)^4﹢1=x^4﹢1=f(x) 函数f(x)＝x的4次方﹢1是偶函数
设x1、x2在区间[0，正无穷]上,且x1f(x1)-f(x2)=(x1)^4﹢1-((x2)^4﹢1)=(x1)^4-(x2)^4=((x1)^2-(x2)^2)((x1)^2+(x2)^2)=((x1)-(x2))((x1)+(x2))((x1)^2+(x2)^2)
x1、x2在区间[0，正无穷]上,且x10 (x1)^2+(x2)^2 >0 x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=((x1)-(x2))((x1)+(x2))((x1)^2+(x2)^2)<0 f(x1)函数f(x)在[0，正无穷]上是增加的

收起

f（-x）=（-x）的4次方+1=x的4次方﹢1=f（x）
所以f（x）是偶函数
f`（x）=4x的3次方
当x>=0时，f`（x）>=0
因此f（x）在区间[0，正无穷]上是单调递增的

证明：
f(x)=x^4+1
f(-x)=(-x)^4+1=f(x)
所以f(x)是偶函数
对f(x)求导得f(x)'=3x^3
当x属于区间[0,+∞)时f(x)'=3x^3≥f(0)=0
故f(x)在x∈[0,+∞)时是增函数
问题得证

偶函数的证明，f（-x）=（-x）的4次方+1=x的4次方+1=f（x），故为偶函数。
f（x）的导数，f（x）’=4x的三次方，显然在0-正无穷上>=0，所以是增加的。