设a、b、c是不全相等的实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,求证:x、y、z中至少有一个大于零
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 13:06:29
设a、b、c是不全相等的实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,求证:x、y、z中至少有一个大于零
设a、b、c是不全相等的实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,求证:x、y、z中至少有一个大于零
设a、b、c是不全相等的实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,求证:x、y、z中至少有一个大于零
假设x、y、z全小于等于零
则x+y+z=a2-bc+b2-ca+c2-ab小于等于零
而2(x+y+z)
=c2-2bc+b2+b2-2ab+a2+a2-2ca+c2
=(c-b)2+(b-a)2+(a-c)2
是大于等于零的
这样的话,x+y+z只能等于0
(c-b)2+(b-a)2+(a-c)2=0
即a=b=c
这与a、b、c是不全相等的实数矛盾
原假设不成立,因此……
假设xyz全不大于零,那么x+y+z=a2-bc+b2-ca+c2-ab=0.5(a-b)2+0.5(a-c)2+0.5(b-c)2小于等于0,只有abc相等的情况下这个等式才成立等于零,与条件矛盾。所以假设不成立,xyz至少有一个大于零
假设:x、y、z全部小于零
则x+y+z=a2-bc+b2-ca+c2-ab
2(x+y+z)=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc
2(x+y+z)=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2
知道变成完全平方式吧?
因为平方不为负且a、b、c是不全相等的实数,
所以2(x+y+z)=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2必大于0<...
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假设:x、y、z全部小于零
则x+y+z=a2-bc+b2-ca+c2-ab
2(x+y+z)=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc
2(x+y+z)=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2
知道变成完全平方式吧?
因为平方不为负且a、b、c是不全相等的实数,
所以2(x+y+z)=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2必大于0
所以假设不成立,则x、y、z中至少有一个大于零
命题得证
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