已知数列{an}的前n项之积与第n项的和等于1,求证{1/(an-1)}是等差数列,并求{an}的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:58:40
已知数列{an}的前n项之积与第n项的和等于1,求证{1/(an-1)}是等差数列,并求{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项之积与第n项的和等于1,求证{1/(an-1)}是等差数列,并求{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项之积与第n项的和等于1,求证{1/(an-1)}是等差数列,并求{an}的通项公式
a1 * a2 * a3.an + an = 1
an-1= - a1 * a2 * a3.an
a(n-1)-1= - a1 * a2 * a3.a(n-1)
上面二者的倒数 相减 通分后 再把an-1= - a1 * a2 * a3.an代入
得到 {1/(an-1)}-{1/(a（n-1）-1)}= -1
可以证明{1/(an-1)}是等差数列
证毕
a1 * a2 * a3.an + an = 1 当n=1时
a1 + a1=1
所以 a1=0.5=1/2
{1/(an-1)}的首项为 {1/(a1 - 1)} = -2
{1/(an-1)}的通向公式为 -2 -（n-1）=-1-n
an-1 = {1/(-1-n)}
化简得到 an=n/(1+n)
S1+a1=2a1=1 a1=1/2
1/(an-1)=1/[n/(n+1)-1]=1/[-1/(n+1)]=-1-n=-2+(n-1)(-1)
首项:1/(a1-1)=-2 公差=-1
{1/(an-1)}是等差数列
1/(an-1)=-2+(n-1)(-1)=-(n+1)
an-1=-1/(n+1)
an=1-1/(n+1)=(n+1-1)/(n...
全部展开
S1+a1=2a1=1 a1=1/2
1/(an-1)=1/[n/(n+1)-1]=1/[-1/(n+1)]=-1-n=-2+(n-1)(-1)
首项:1/(a1-1)=-2 公差=-1
{1/(an-1)}是等差数列
1/(an-1)=-2+(n-1)(-1)=-(n+1)
an-1=-1/(n+1)
an=1-1/(n+1)=(n+1-1)/(n+1)=n/(n+1)
也可以用数学归纳法：
S2+a2=a1a2+a2=(3/2)a2=1 a2=2/3
假设当n=k时，ak=k/(k+1)
Sk+ak=1 a1a2...ak+ak=1 a1a2...ak=1-ak=1-k/(k+1)=1/(k+1)
则当n=k+1时，
Sk+1+a(k+1)
=a1a2...aka(k+1)+a(k+1)=1
a(k+1)(a1a2...ak+1)=1
a(k+1)[1/(k+1)+1]=1
a(k+1)[(k+2)/(k+1)]=1
a(k+1)=(k+1)/(k+2)
也成立。
综上，an=n/(n+1)
收起