在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求证:EF垂直B1C

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 00:15:47

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求证:EF垂直B1C在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求证:EF垂直B1C

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求证:EF垂直B1C
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求证:EF垂直B1C

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点.求证:EF垂直B1C
证明： (1)
连接A1D
过点E做A1D的平行线EG交A1D1于点G,连接GF,
过G点做AD的垂线GM交AD于M,连接MF,
因为A1D平行于B1C
又因为EG平行A1D
所以EG平行B1C
则欲证EF垂直B1C,只需证EF垂直EG.
因为正方体的棱长为2
所以A1D=根号下8,BD=根号下8
又因为E是B1D1的中点,EG平行A1D
所以EG=根号下2,FD=1
因为F为BD中点,所以DF=根号下2
则EF=根号下3
因为GM垂直于AD,G是A1D1的中点
所以M是AD中点,且MF=1/2AB=1
那么在直角三角形GMF中,GM=2,MF=1
则GF=根号下5
而在三角形EGF中,边EG=根号下2,EF=根号下3,GF=根号下5
则EG方+EF方=GF方
根据勾股定理有EF垂直于EG
则得证EF垂直B1C
(2)连接BD1,AB1,AC,A1B
因为E,F分别为D1B1,BD1的中点,则EF平行BD1
又因为DD1垂直于面ABCD
所以DD1垂直AC,
而在正方形ABCD中,AC垂直于BD,
而DD1垂直AC
所以AC垂直面DD1B
则AC垂直D1B
同理可证D1B垂直AB1
则D1B垂直于面AB1C
所以D1B垂直于B1C
则EF垂直于B1C

证明EF//BD1
BD1⊥平面B1CA
所以EF⊥平面B1CA
所以EF⊥B1C