如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2 (1)求证:PA∥平面QBC;(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/24 14:59:07
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2 (1)求证:PA∥平面QBC;(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2
(1)求证:PA∥平面QBC;
(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.
如图,已知平面QBC与直线PA均垂直于直角三角形ABC所在平面,且PA=AB=AC=根号2 (1)求证:PA∥平面QBC;(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.
(1)求证:PA∥平面QBC;
证明:∵PA⊥平面ABC
平面QBC⊥平面ABC
PA不属于平面QBC
∴PA∥平面QBC
(2)若AQ⊥平面PBC,求多面体PQABC的体积.
作AD⊥BC于D,连接PD、QD
∵平面QBC⊥平面ABC
平面QBC∩平面ABC=BC
∴AD⊥QD
∵PA⊥平面ABC
∴PA⊥AD
∴∠PDA+∠DPA=90°
∵AQ⊥平面PBC
∴AQ⊥PD
∴∠PDA+∠QAD=90°
∴∠QAD=∠DPA
∴⊿QAD∽⊿DPA
∴AQ=AD•PD/PA
∵PA=AB=AC=√2
⊿ABC是直角三角形
∴△PBC是等腰三角形
∴PD⊥BC
∴BC=2
∴AD=1
PD=√3
∴AQ=√6/2
∴S△PBC=2×√3÷2=√3
∴ 多面体PQABC的体积=√3×√6/2÷3=√2/2