四阶幻方的填法?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 16:44:35
四阶幻方的填法?
四阶幻方的填法?
四阶幻方的填法?
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.我国不仅拥用幻方的发明权,而且是对幻方进行深入研究的国家.公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在欧洲,直到574年,德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方.
数学上已经证明,对于n>2,n阶幻方都存在.目前填写幻方的方法,是把幻方分成了三类,每类又有各种各样的填写方法.
1、奇数阶幻方
n为奇数 (n=3,5,7,9,11……) (n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法).填写方法是这样：
把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数：
(1)每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列；
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行；
(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
(5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4).
这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯.
2、双偶阶幻方
n为偶数,且能被4整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先说明一个定义.互补：如果两个数字的和,等于幻方最大数和最小数的和,即 n*n+1,称为互补.
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
这个方阵的对角线,已经用颜色标出.将对角线上的数字,换成与它互补（同色）的数字.
这里,n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方.
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按4*4把它划分成k*k个方阵.因为n是4的倍数,一定能用4*4的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.
3、单偶阶幻方
n为偶数,且不能被4整除 (n=6,10,14,18,22……) (n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
这是三种里面最复杂的幻方.
以n=10为例.这时,k=2
(1) 把方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶.用楼梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数.
(2) 在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k格.A象限的其它行则标出最左边的k格.将这些格,和C象限相对位置上的数,互换位置.
(3) 在B象限任一行的中间格,自右向左,标出k-1列.(注：6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换),将B象限标出的这些数,和D象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方.
看起来很麻烦,其实掌握了方法就很简单了.