在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,角ABC=90度,角BCD=135度,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D,求二面角B-AD-C的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 15:38:02
在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,角ABC=90度,角BCD=135度,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D,求二面角B-AD-C的大小
在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,角ABC=90度,角BCD=135度,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D,求二面角B-AD-C的大小 
在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=a,角ABC=90度,角BCD=135度,沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D,求二面角B-AD-C的大小
在四边形ABCD中,
∵AB＝BC、AB⊥BC,∴∠ACB＝45°,而∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°,∴∠ACD＝90°.
下面考虑四面体D－ABC的情况：
过B作BE⊥AD交AD于E,再过B作BF⊥AC交AC于F,连结EF.
∵平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC＝AC,BF⊥AC,∴BF⊥平面ACD.
∴EF是BE在平面ACD上的射影,又BE⊥AD,∴由三垂线定理的逆定理,有：EF⊥AD,
∴∠BEF是二面角B－AD－C的平面角.
∵AB＝BC＝a,∠ABC＝90°,∴AC＝√2a.
又CD＝a,∠ACD＝90°,∴AD＝√（AC^2＋CD^2）＝√（2a＋a）＝√3a.
∵AB＝BC、BF⊥AC,∴AF＝BF＝AC/2＝√2a/2.
∵∠AEF＝∠ACD＝90°、∠A＝∠A,∴△AEF∽△ACD,∴AF/AD＝EF/CD,
∴EF＝AF×CD/AD＝（√2a/2）a/（√3a）＝a/√6.
∴tan∠BEF＝BF/EF＝（√2a/2）/（a/√6）＝1/√3, ∴∠BEF＝60°.
即：二面角B－AD－C的大小为60°.
在四边形ABCD中，
∵AB＝BC、AB⊥BC，∴∠ACB＝45°，而∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°，∴∠ACD＝90°。
下面考虑四面体D－ABC的情况：
过B作BE⊥AD交AD于E，再过B作BF⊥AC交AC于F，连结EF。
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BF⊥AC，∴BF⊥平面ACD。
∴EF是BE在平面ACD上的射影，...
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在四边形ABCD中，
∵AB＝BC、AB⊥BC，∴∠ACB＝45°，而∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°，∴∠ACD＝90°。
下面考虑四面体D－ABC的情况：
过B作BE⊥AD交AD于E，再过B作BF⊥AC交AC于F，连结EF。
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BF⊥AC，∴BF⊥平面ACD。
∴EF是BE在平面ACD上的射影，又BE⊥AD，∴由三垂线定理的逆定理，有：EF⊥AD，
∴∠BEF是二面角B－AD－C的平面角。
∵AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，∴AC＝√2a。
又CD＝a，∠ACD＝90°，∴AD＝√（AC^2＋CD^2）＝√（2a＋a）＝√3a。
∵AB＝BC、BF⊥AC，∴AF＝BF＝AC/2＝√2a/2。
∵∠AEF＝∠ACD＝90°、∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD，∴AF/AD＝EF/CD，
∴EF＝AF×CD/AD＝（√2a/2）a/（√3a）＝a/√6。
∴tan∠BEF＝BF/EF＝（√2a/2）/（a/√6）＝1/√3， ∴∠BEF＝60°。
即：二面角B－AD－C的大小为60°。
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