有两名射手射击,射中概率甲p1,乙p2,甲先射,谁先命中谁得胜,求甲乙分别得胜的概率是多少 有两名射手射击,射中概率甲p1,乙p2,甲先射,谁先命中谁得胜,求甲乙分别得胜的概率是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 21:17:25
有两名射手射击,射中概率甲p1,乙p2,甲先射,谁先命中谁得胜,求甲乙分别得胜的概率是多少 有两名射手射击,射中概率甲p1,乙p2,甲先射,谁先命中谁得胜,求甲乙分别得胜的概率是多少
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分别列出甲 乙 第一次射中时的设计次数X Y的分布,这里甲乙类似,只分析甲即可
甲
X=1 2 3 4……n
p pq pq² pq³ pq^(n-1) 其中q=1-p
求X的数学期望
EX=p+2pq+3pq³+……+npq^(n-1
=p(1+2q+3q²+……+nq^(n-1)
=p[(1+q+q²+……+q^(n-1))+(q+q²+q³+……+q^(n-1)+(q²+q³+……+q^(n-1)+……]
分别对内层的括号项内进行无穷等比级数求和 有公式 sn=a0/(1-x) a0为首项 x为公比
=p(1/(1-q)+q/(1-q)+……+q^(n-2)/(1-q))
=p[1/p+q/p+q²/p+……+q^(n-2)/p]
=1+q+q²+q³+……+q^n
再次运用等比无穷级数求和
=1/(1-q)
=1/p
于是我们得出了第一次射中时的射击次数X的数学期望EX=1/p1
乙的期望EY,跟甲类似,EY=1/p2
下面比较一下甲乙数学期望
当p1>p2时 即甲每次射中概率p1比乙每次射中概率大时.甲第一次射中时的射击次数的期望为1/p1小于乙第一次射中时的次数期望1/p2,甲获胜概率大.
反之乙获胜的概率大.
所以从这里我们看出甲乙两人谁每次命中的概率越大,越有可能较早射中目标,也就是说越有可能获胜.
下面分别算甲乙获胜的概率
P（甲获胜）=P(甲第一次射击获胜)+P(甲第二次射击获胜）……+P(甲第n次射击获胜)
=P(甲第一次射中,乙不论是否射中)+P(甲第二次射中,甲乙第一次均不中)+……+P(甲第n+1次射中,甲乙第n次均不中）
=p1+p1(1-p1)(1-p2)+p1(1-p1)²(1-p2)²+p1(1-p1)³(1-p2)³+……+p1(1-p1)^n(1-p2)^n)
=p1(1+q1q2+q1²q2²+……+q1^n q2^n) 还是用q1=1-p1 ,q2=1-p2
无穷等比级数求和
=p1(1/(1-q1q2))
=p1/(1-q1q2)
=p1/(1-(1-p1)(1-p2)
那么乙获胜的概率很简单了
P(乙获胜）=1-P（甲获胜）=1-p1/(1-(1-p1)(1-p2)
算死我了.