求解不定积分 求计算转化过程或思路 高数∫(√1-x^2)^3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 16:37:45
求解不定积分 求计算转化过程或思路 高数∫(√1-x^2)^3
求解不定积分 求计算转化过程或思路 高数
∫(√1-x^2)^3
求解不定积分 求计算转化过程或思路 高数∫(√1-x^2)^3
这种题目一目了然是用三角代换
令x=sint
原式=∫(cost)^3dsint=sint(cost)^3-∫sintd(cost)^3
=sint(cost)^3+3∫(sint)^2(cost)^2dt
=sint(cost)^3+(3/4)∫(sin2t)^2dt
∫(sin2t)^2dt=-0.5∫sin2tdcos2t=-0.5sin2tcos2t+0.5∫cos2tdsin2t
=-0.5sin2tcos2t+∫(cos2t)^2dt
=-0.5sin2tcos2t+∫[1-(sin2t)^2]dt
=-0.5sin2tcos2t+t-∫(sin2t)^2dt
所以2∫(sin2t)^2dt=-0.5sin2tcos2t+t
所以∫(sin2t)^2dt=-0.25sin2tcos2t+0.5t
带回
原式=sint(cost)^3+(3/4)∫(sin2t)^2dt=sint(cost)^3-0.1875sin2tcos2t+0.375t
=x(1-x^2)^1.5-0.1875(1-2x^2)(2x√(1-x^2))+0.375arcsinx
=x(1-x^2)^1.5-0.375(1-2x^2)x√(1-x^2)+0.375arcsinx
计算有点复杂,方法就是这样,你自己在算算
碰到√(1-x^2),√(1+x^2),√(x^2-1)这类的要想到三角函数中的那三个平方公式进行换元
三角代换，令 X = sin t ,
于是 1- x ^ 2 = (cost)^2;
dX = cost d t;
接下来就好计算了