已知函数f(x)在[a,b]上连续(a,b)上可导,证明(a,b)内至少存在m,n,使得f(m)-mf'(m)=[bf(a)-af(b)]/(b-a),

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/18 22:45:28
已知函数f(x)在[a,b]上连续(a,b)上可导,证明(a,b)内至少存在m,n,使得f(m)-mf''(m)=[bf(a)-af(b)]/(b-a),已知函数f(x)在[a,b]上连续(a,b)上可

已知函数f(x)在[a,b]上连续(a,b)上可导,证明(a,b)内至少存在m,n,使得f(m)-mf'(m)=[bf(a)-af(b)]/(b-a),
已知函数f(x)在[a,b]上连续(a,b)上可导,证明(a,b)内至少存在m,n,使得f(m)-mf'(m)=[bf(a)-af(b)]/(b-a),

已知函数f(x)在[a,b]上连续(a,b)上可导,证明(a,b)内至少存在m,n,使得f(m)-mf'(m)=[bf(a)-af(b)]/(b-a),
如果0不属于(a,b),则令
F(x)=f(x)/x
G(x)=1/x
由柯西中值有,存在m∈(a,b)
F'(m)/G'(m) = ((mf'(m)-f(m))/m²)/ (-1/m²)
= (f(b)/b -f(a)/a)/(1/b-1/a)
整理一下有 f(m)-mf'(m)=[bf(a)-af(b)]/(b-a),
如果 0∈(a,b)
那么是有反例的
令f(x)=x² ,[a,b]=[-1,1]
[bf(a)-af(b)]/(b-a)=1
f(m)-mf'(m)=m²-2m²=-m²
则需 -m²=1,这是不可能的
证毕