请大家帮我看看这个定积分怎么做：在（0,π）区间证明 sin(2n+1)x/sinx的积分=π,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 06:19:50
请大家帮我看看这个定积分怎么做：在（0,π）区间证明 sin(2n+1)x/sinx的积分=π,
请大家帮我看看这个定积分怎么做：在（0,π）区间证明 sin(2n+1)x/sinx的积分=π,
请大家帮我看看这个定积分怎么做：在（0,π）区间证明 sin(2n+1)x/sinx的积分=π,
和差化积公式
sin(2n+1)x=sinx-sinx+sin3x-sin3x+sin5x-sin5x+sin7x-sin7x+...+sin(2n-1)x-sin(2n-1)x+sin(2n+1)x
=sinx+cos2xsinx+cos4xsinx+cos6xsinx+.+cos2nxsinx
∫[0—〉π]{[sin(2n+1)x]/sinx}dx
=∫[0—〉π][1+cos2x+cos4x+cos6x+.+cos2nx]
=π
sin(2n+1)x=sin(2n-1+2)x
=cos2x sin(2n-1)x +sin2x cos(2n-1)x（两角和）
=(1-2sin^2x)sin(2n-1)x+2sinx cosx cos(2n-1)x（倍角公式）
=sin(2n-1)x+2sinx( cosx cos(2n-1)x ...
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sin(2n+1)x=sin(2n-1+2)x
=cos2x sin(2n-1)x +sin2x cos(2n-1)x（两角和）
=(1-2sin^2x)sin(2n-1)x+2sinx cosx cos(2n-1)x（倍角公式）
=sin(2n-1)x+2sinx( cosx cos(2n-1)x -sinx sin(2n-1)x)
=sin(2n-1)x+2sinx cos(2nx)
(0,π)∫sin(2n+1)x dx/x=(0,π)∫sin(2n-1)x dx/x+(0,π)∫2cos(2nx)dx
后一积分为0，故得递推公式(0,π)∫sin(2n+1)x dx/x=(0,π)∫sin(2n-1)x dx/x。
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