已知点A(3,0),点B在x轴上,点M在直线x=1上移动,且向量MA*向量MB=0,动点C满足向量MC=3向量BC.（1）求C点的轨迹D的方程,（2）设直线l:y=k(x-1)与曲线D有两个不同的交点E,F,点P(0,1),当角EPF为锐角时,求k的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 08:03:07
已知点A(3,0),点B在x轴上,点M在直线x=1上移动,且向量MA*向量MB=0,动点C满足向量MC=3向量BC.（1）求C点的轨迹D的方程,（2）设直线l:y=k(x-1)与曲线D有两个不同的交点E,F,点P(0,1),当角EPF为锐角时,求k的
已知点A(3,0),点B在x轴上,点M在直线x=1上移动,且向量MA*向量MB=0,动点C满足向量MC=3向量BC.（1）求C点的轨迹D的方程,（2）设直线l:y=k(x-1)与曲线D有两个不同的交点E,F,点P(0,1),当角EPF为锐角时,求k的取值范围
已知点A(3,0),点B在x轴上,点M在直线x=1上移动,且向量MA*向量MB=0,动点C满足向量MC=3向量BC.（1）求C点的轨迹D的方程,（2）设直线l:y=k(x-1)与曲线D有两个不同的交点E,F,点P(0,1),当角EPF为锐角时,求k的
（1）设B(b,0),M(1,m),C(x,y),
向量MA*向量MB=（2,-m)*(b-1,-m)=2(b-1)+m^=0,①
由向量MC=3向量BC得（x-1,y-m)=3(x-b,y),
∴x-1=3(x-b),y-m=3y,
∴b=(2x+1)/3,m=-2y,
代入①,2（2x-2)/3+4y^=0,
∴y^=(1-x)/3为所求.
（2）把y=k(x-1)②代入上式得
3k^(x^-2x+1)=1-x,
3k^x^+(1-6k^)x+3k^-1=0,
△=（1-6k^)^-12k^(3k^-1)=1,
设E(x1,y1),F(x2,y2),则
x1+x2=(6k^-1)/(3k^),x1x2=(3k^-1)/(3k^),
由②,y1+y2=k(x1+x2)-2k,
y1y2=k^(x1-1)(x2-1)=k^(x1x2-x1-x2+1)
角EPF为锐角,
向量PE*PF=(x1,y1-1)*(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
=(1+k^)x1x2-(k^+k)(x1+x2)+k^+2k+1
=[(1+k^)(3k^-1)-(k^+k)(6k^-1)]/(3k^)+k^+2k+1
=[3k^4 +2k^ -1
-6k^4-6k^3+k^+k
+3k^4+6k^3+3k^ ]/(3k^)
=(6k^+k-1)/(3k^)
=(2k+1)(3k-1)/(3k^)>0,
k1/3.