已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2 ,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数的平方和,请说明理由

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/29 16:18:47
已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数的平方和,请说明理由已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数

已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2 ,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数的平方和,请说明理由
已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2 ,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数的平方和,请说明理由

已知abcd都是整数,且x=a^2+b^2 ,y=c^2+d^2,则xy也可以表示成两个整数的平方和,请说明理由
xy=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
=a^2*c^2 + a^2*d^2 + b^2*c^2 + b^2*d^2
=(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2
=(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2+2abcd-2abcd
=[(ac)^2+2*ac*bd+(bd)^2]+[ (ad)^2 -2*ad*bc+ (bc)^2]
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
因为abcd是整数,所以ac+bd、ad-bc都是整数.

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