摩根定律如题

摩根定律如题
摩根定律
如题

摩根定律如题
德摩根定理
在高中数学集合一章中出现了德摩根定理,它同样也叫做对偶原则.
有关于交集,并集和补集的关系:
Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
注:u表示全集.

摩根定律是哥德巴赫猜想赖以获解的完备性条件
我们知道，所谓的哥德巴赫猜想，其中的一个主要的命题是：“任意充分大的偶数都可以表为两个奇素数之和”。既然是“和”，也就说明其是属于加法关系a+b的范畴，那么，从对加法关系a+b的剖析中，我们就可获得其中所具有的规律。
设M=a+b，归纳其所有的元素为一集合G，则有：
M=1+(M-1)=2+(M-2)=...=M/2+M/2

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摩根定律是哥德巴赫猜想赖以获解的完备性条件
我们知道，所谓的哥德巴赫猜想，其中的一个主要的命题是：“任意充分大的偶数都可以表为两个奇素数之和”。既然是“和”，也就说明其是属于加法关系a+b的范畴，那么，从对加法关系a+b的剖析中，我们就可获得其中所具有的规律。
设M=a+b，归纳其所有的元素为一集合G，则有：
M=1+(M-1)=2+(M-2)=...=M/2+M/2
共有M/2个元素。当a→∞时，G有无穷多个元素；但b的元素却是无法用自然数值来表达的，只能以∞+1,∞+2,∞+3,...,(2∞-1)等共尾序数来表示。按加法关系a+b的性质，可知，
2∞=1+(2∞-1)=2+(2∞-2)=...=∞+∞
是集合G的元素中的欲表达之数值的极限之值。
在这M/2个元素中，若以素数或合数的性质来分类，则在集合G有：素数加素数p(1,1)、素数加合数(p,H)、合数加合数H(1,1)此三大类情况(在这里，将与1相加的情况排除在外)。显然，如果欲使求解的方法是完备的，则就必须将这三大类的情况都安置在内，否则就是不完备的。因此，欲解哥德巴赫猜想，就必须是：
素数加素数=G-素数加合数-合数加合数
用符号表之，有
p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)
根据上述之式，我们可以知道，欲求p(1,1)，则必须在集合G中将(H,p)和H(1,1)此两类情况的元素筛掉，剩下的即是p(1,1)，这种求解的筛法，在辩证法中谓之为否定之否定。
应用否定之否定法则求解数学中的问题，并非是解p(1,1)所独有，在许多问题上都有所应用。例如，埃拉托色尼筛法：p=x-H，也是应用否定之否定法则的。但埃拉托色尼筛法求不出p(1,1)，因为p(1,1)是由两个自然数之和构成的元素，而p只是一个自然数之元素，由量变到质变，所以用埃拉托色尼筛法是解不出哥德巴赫猜想的。
所谓的摩根定律，是指其最简单的形式：A~∩B~=(A∪B)~。此定律告诉了我们，集合A的补集与集合B的补集之交，等于集合A与集合B的并集之补。摩根定律对于所有的两集合之互补关系都是适用的，哥德巴赫猜想之解也只是对摩根定律的一个具体应用而已。换言之，欲解哥德巴赫猜想，必须以摩根定律为前提，否则，一概是错误的；因为只有摩根定律才满足两集合之并、交之关系的完备性条件。譬如，若以x-p为前提，其中的p乃是一些不能被确定的素数之元素，所以，x-p只能是一些无法确定的自然数之堆积，是根本无法从中研究出什么来的。但摩根定律则不然，其是集合论中的一个著名的定律，正确性是经历过验证的。以摩根定律作为哥德巴赫猜想之解的前提，就是为了使得对哥德巴赫猜想的研究有一个完备性的条件，因为哥德巴赫猜想也是一个加法关系a+b中的集合之问题。
为了能更清晰地对摩根定律与哥德巴赫猜想之关系的认识，让我们举一实例来作解释；当然，这样的举例对于M为任何数值的实例都是适用的。
例如，设M=16，则有
16=1+(15)=2+(14)=3+13=(4+12)=5+11=(6+10)=7+(9)=(8+8)
为了视觉上的一目了然，在合数处我们以括号笼之。在区间(1,8]中，有合数4、6、8共三个，则集合A有元素(4+12)、(6+10)、(8+8)；而集合A~有元素1+(15)、(2+14)、3+13、5+11、7+(9)。在区间[8,16)中，有合数8、9、10、12、14、15共6个，则集合B有元素(8+8)、7+(9)、(6+10)、(4+12)、2+(14)、1+(15)；而集合B~有元素3+13、5+11。故而，A~∩B~有元素：3+13、5+11共2个；A∪B有元素(8+8)、7+(9)、(6+10)、(4+12)、2+14、1+(15)共6个。在M=16中，全域共有a+b元素8个；则有：2=8-6。
诚然，摩根定律并没有要求集合A或集合B必须是合数的集合，用素数来归纳也是一样的，只不过是互换了一下数据而已。但是由于是为了解哥德巴赫猜想，用合数作这样的归纳显然是较为合理可取。
用摩根定律来归纳加法关系M=a+b中的元素，对于任何的M之值都是适用的，包括奇数在内(只不过奇数时的p(1,1)=0而已)。从摩根定律中，我们可以获得这样的讯息，欲解等式左边的A~∩B~，只要对等式右边的(A∪B)~求解即可。
在等式左边，A~是A的补集，也就是说，组成A~的元素在区间(1,M/2]中是素数；B~是B的补集，也就是说，组成B~的元素在区间[M/2,M)中是素数；A~∩B~也就构成了两个奇素数之和。
等式右边的A∪B为两个合数的集合之并，(A∪B)~是求A∪B之补的意思；也就是说，在全域G中求出G-A∪B之差集，乃是筛法也。
由于摩根定律是适用于所有的集合的，所以，在针对哥德巴赫猜想时，我们要用特殊的符号来替代：p(1,1)=G-(p,H)-H(1,1)。此是应用摩根定律于哥德巴赫猜想时所采用的符号，其实，用替代符号所讲述的就是摩根定律，并没有其它的内容。但欲解哥德巴赫猜想，必须应用摩根定律，因为只有摩根定律，才符合加法关系a+b的完备性条件。

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