定点O(0,0),A(0,1),B(2,1).动点P、Q分别从A、O同时出发,以相同速率分别朝向定点B、动点P作匀速率运动.求动点Q的轨迹方程（在P到达B之前）.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 09:33:39
定点O(0,0),A(0,1),B(2,1).动点P、Q分别从A、O同时出发,以相同速率分别朝向定点B、动点P作匀速率运动.求动点Q的轨迹方程（在P到达B之前）.
定点O(0,0),A(0,1),B(2,1).动点P、Q分别从A、O同时出发,以相同速率分别朝向定点B、动点P作匀速率运动.求动点Q的轨迹方程（在P到达B之前）.
定点O(0,0),A(0,1),B(2,1).动点P、Q分别从A、O同时出发,以相同速率分别朝向定点B、动点P作匀速率运动.求动点Q的轨迹方程（在P到达B之前）.
定点O(0,0),A(0,1),B(2,1).动点P、Q分别从A、O同时出发,以相同速率分别朝向定点B、动点P作匀速率运动.求动点Q的轨迹方程（在P到达B之前)
这是一个”猎兔狗“问题.P是兔,Q是猎狗.猎狗追兔子.
不失一般性,设点P和点Q的速率都是1,用t表时间.那么在时刻t,P点的坐标为(t,1),Q点的坐标为(x,y)；任何时候,点Q的轨迹的切线总是与PQ的连线一致,即总有y'=(y-1)/(x-t).(1)
设在时间t内,点Q走过的弧长为S；那么点Q的速度v=dS/dt=1,dt=dS=√(1+y'²)dx,故t=∫√(1+y'²)dx；代入(1)式得：y'=(y-1)/[x-∫√(1+y'²)dx],解出此微分方程,即得Q点的轨迹方程.
此方程怎么解?
更复杂的是导弹打导弹,即反导问题.
自己画一个图， Q的轨迹方程是一个过原点的正比例函数设函数为Y=KX吧B（2,1）代入X,Y解得K为1/2X的范围为0~2为什么是Q点轨迹方程是正比例函数呢？P点是一个动点，它是不断运动的啊……
——你的答案具体是什么呢？难道是y=(1/2x)x吗？那不就是y=0.5吗？显然不对啊……...
全部展开
自己画一个图， Q的轨迹方程是一个过原点的正比例函数设函数为Y=KX吧B（2,1）代入X,Y解得K为1/2X的范围为0~2
收起
设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=根号(x-4)2+y2
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即...
全部展开
设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=根号(x-4)2+y2
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=(x+4)/2 , y1=(y+0)/2
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
((x+4)/2)2+(y/2)2-4*(x+4)/2－10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
收起