陀螺不倒的原理?

陀螺不倒的原理?
陀螺不倒的原理?

陀螺不倒的原理?
这就是陀螺的运动特性,学术用语是“刚体绕定点旋转”.
几乎所有的人都接触过陀螺,不知有多少人想过它为什么会这样.早在十七世纪,陀螺问题是著名的世界难题,号称“数学水妖”,吸引了众多的名家潜心研究,欧拉、拉格朗日等泰斗都曾为此付出心血,但是却没有找到最终答案.为此,法国科学院曾三次向全世界征解,最终由俄国天才女数学家索非亚于1888年借用椭圆积分中的阿贝尔函数解决,陀螺问题告一段落.
今天,已经无从查考法国科学院当年征解的题目是什么,只模糊地知道是“刚体绕定点转动问题”,这或许应该分解为两个问题,一是陀螺运动的规律,也就是刚体绕定点转动时的数学描述；二是陀螺为什么不倒,也就是表面运动规律背后的原因.
前人对陀螺的分析都借助了角动量（动量矩）守恒,利用数学中的矢量计算规则（叉积）建立方程,精确求解陀螺在各种情况下的运动状况,索非亚的陀螺模型最为复杂,仍然可以用数学方程加以描述,由此可见对陀螺运动规律的研究已经尽善尽美.但是赞美之余,总觉得还有些缺憾,这些非凡的成就可以说对陀螺运动的表面现象总结的极为透彻,但是好像没有说清陀螺为什么不掉下来.
角动量守恒定律指出,旋转的陀螺角速度矢量与重力矩的乘机遵循右手螺旋定则,即它们的叉积垂直于两矢量决定的平面,因此陀螺重心的运动也将遵循叉积的方向.
这实际上可以简化为：因为旋转的陀螺重心不沿重力方向运动（不倒）,所以它就不倒!这好像是自身印证,并没有说明问题.
如果法兰西科学院征解的题目是“陀螺为什么不倒”,可以说此问题至今无解.

陀螺究竟为什么不倒?这个原因本应简洁清晰,就象f=ma一样能够被人们理解接受,因为陀螺现象在宇宙中最为普遍,大至天体星系,小至电子光子,以及我们日常所见任何旋转的物体,都遵循着陀螺运动规律.如此普遍的、触目可及的现象,理应有一个根本的、简洁的解释.

一、简化陀螺
为方便分析,将陀螺简化为匀质薄圆盘,并选圆盘边缘一质点m进行分析.
下面将以表盘标示陀螺旋转盘


二、质点的运动

陀螺受到重力与支点的反作用力共同作用,将产生如下的运动.上沿质点m产生向右垂直于自转平面的加速度a,同时下沿质点向左出现加速度a.

根据牛顿第二定律,f=ma,既然有加速度,必然存在同方向的力f,因此陀螺的旋转盘受到了力偶MgL的作用,产生了以直径为轴的翻转.
外力矩=MgL
陀螺的下倒实际上就是圆盘在MgL的作用下,出现以下图H为轴的翻转.

（定义陀螺自转轴方向为轴向）
由于圆盘翻转,质点m在不同的位置获得不同的轴向加速度,12、6点处值最大为A,方向相反,t时刻为a=Asin(ωt).其所受力为f=ma=mAsin(ωt),mA=F,因此f=Fsin(ωt).
由于圆盘自身以角速度ω自转,因此可知,质点m在轴向受到周期性力f的作用.受力（加速度）分布见图

三、简协受迫振动

建立以圆盘中心为原点、与圆盘自转速度相同的旋转质心坐标系在此坐标系内观察圆盘中心与质点m连线的运动,可以发现这是一个以R为摆长,质点m为摆锤,受周期力f=Fsin(ωt)作用的单摆.其摆动周期为2π/ω. 质点m作受迫振动.
关于单摆,摆锤的受力与运动的关系可以叙述为：
摆锤受力最大时,其运动速度最小（瞬间静止）；摆锤受力最小时（f=0）,其运动速度最大,此时质点处于3、9点位置,运动速度就是陀螺以12、6连线为轴翻转时边缘的最大线速度,与圆盘半径的比值就是进动角速度.
因此,质点m在轴向的速度变化始终比加速度落后一个相位.
即f(t)=Fsin(ωt)
a(t)=f/m=Fsin(ωt)/m
v(t)=Fsin(ωt+π/2)/mω=Fcos(ωt)/mω

四、分析
圆盘上所有质点都遵循着简谐振动的规律.
质点速度（运动）分布见图
质点m在运行一周的过程中,12、6两处受力最大但速度为0,3、9两处速度最大但受力为0,因此,质点每运行一周,其运动轨迹将沿竖向轴偏转一个角度.

圆盘上所有质点以3、9连线为轴,上下两半部分运动相互抵消,因此圆盘不出现以3、9连线为轴的翻转.（定轴性）
所有质点以12、6连线为轴,分左右两部分,运动方向相反,运动效果累加,因此圆盘整体将以12、6连线为轴,出现翻转.（进动性）

五、继续深入
揭开陀螺问题的关键,在于将陀螺的下倒理解为旋转盘的翻转（自转轴方向变化）,陀螺上的质点在做高速圆周运动的同时,在轴向出现高频振荡.从而引起上述分析结果. 下面进行定量分析 （待续）

六、受力与运动分析
质点m受周期力f=Fsin(ωt)作用,周期为2π/ω.根据以上分析:
在6、12点处加速度最大,A=F/m,但运动速度为0；
在3、9点位置,其受力（加速度）为0,速度最大（也就是摆锤到最低点,f=0,a=0）

I……圆盘转动惯量（以直径为轴,上图的3、9连线）
Q……外力矩
α……角加速度
根据刚体转动定律有
α=Q/I
12点处的加速度A=αR=QR/I；

质点受力F=mA=mQR/I……（1）

质点m自此点开始,旋转至9点处,时间t=π/2ω,f=Fcos(ωt),此时速度为:
v=Fsinωt/(mω)=F/(mω)
v是质点到9点时,离开原自转平面的速度,也就是圆盘以12、6为轴翻转时9点的线速度,因此圆盘以竖直轴翻转的角速度:

Ω=v/R=F/(Rmω)……（2）

将（1）代入（2）得：

Ω=mQR/IRmω=Q/Iω……（3）

具体到陀螺,外力矩Q=MgL,其进动角速度
Ω=Q/Iω=MgL/Iω……这刚好是我们熟悉的进动角速度公式.

七、后记
终于将角动量守恒和f=ma联系起来,为矢量叉乘的方向问题找到了理论依据,纯粹从力与运动的角度揭开了“陀螺为什么不倒”秘密.

事情还没有结束,由此引出的问题或许更为艰难：
对一个特定环境下的特定的陀螺,外力矩MgL和自转角速度ω都存在一个临界值,外力矩一定时自转角速度必然有个最小值、自转角速度一定时外力矩必然有个最大值,在此范围内陀螺作规则运动,一旦越界,陀螺将不能保持平衡而倾倒,这个临界值如何确定?

质点受迫振动的运动方程是常微分方程,尤其是阻尼振动,更加复杂,与椭圆方程有关.（1888年索非亚就是利用椭圆积分解决的陀螺问题,不知具体内容,或者我正在她走过的路的起点上?）

以下摘录有关资料上的几段话：

“上式是振动系统的振动特性与驱动力间的关系式,称为频率特性.注意到其第一项是随时间衰减的,在经过一段时间之后这一项将衰减到可以忽略的程度,这个衰减过程常称为系统的过渡过程,最后仅剩下第二部分.因此我们也可只讨论第二部分的特性.”
或参考http://tieba.baidu.com/f?kz=795761897
这个随时间衰减的特性似乎论述的是“章动”.

“综上所述,受驱单摆的运动状态有如下特点：
⑴在小驱动力下,单摆作规则的周期运动.当驱动力矩增加到某—临界值时,单摆从周期的运动状态进入随机运动状态,这种状态常被称为混沌.”

这也许就是我们希望找到的最大外力矩的临界值.

“设驱动力振幅F保持常数,而驱动力频率n由小到大值缓慢增加,这时振幅逐渐增加,即共振点由1运动至2.然而在到达点2后,如再继续增加n值,则振幅A发生向上跳变,由点2跳到点3,并伴随着解x的相位反相.再继续增加n值,则振幅逐渐减少.当n值由大到小减少时,开始振幅逐渐递增加,在到达点4后,再继续减小n值时,振幅又发生一次跳变到低值,振幅由4一下跳到最低值,同时振动相位又将出现一次反相.”

这应该就是最小自转角速度的临界点,同时说明了反向进动问题

本质上同惯性定律有直接关系。陀螺上的每一个点，都在一个跟旋转轴垂直的平面里沿着一个圆周转。按照惯性定律，每一个点随时都竭力想使自己沿着圆周的一条切线离开圆周。可是所有的切线都同圆周本身在同一个平面上。因此，每一个点在运动的时候，都竭力想使自己始终留在跟旋转轴垂直的那个平面上。由此可见，在陀螺上所有跟旋转轴垂直的那些平面，也竭力在维持自己在空间的位置。这就是说，跟所有这些平面垂直的那旋转轴本身，也竭...

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本质上同惯性定律有直接关系。陀螺上的每一个点，都在一个跟旋转轴垂直的平面里沿着一个圆周转。按照惯性定律，每一个点随时都竭力想使自己沿着圆周的一条切线离开圆周。可是所有的切线都同圆周本身在同一个平面上。因此，每一个点在运动的时候，都竭力想使自己始终留在跟旋转轴垂直的那个平面上。由此可见，在陀螺上所有跟旋转轴垂直的那些平面，也竭力在维持自己在空间的位置。这就是说，跟所有这些平面垂直的那旋转轴本身，也竭力在维持自己的方向。

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