若多项式X^4+mX^3+nX—16能被（X—1）（X—2）整除,求m,n的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 06:47:21
若多项式X^4+mX^3+nX—16能被（X—1）（X—2）整除,求m,n的值
若多项式X^4+mX^3+nX—16能被（X—1）（X—2）整除,求m,n的值
若多项式X^4+mX^3+nX—16能被（X—1）（X—2）整除,求m,n的值
用待定系数法.
令x^4+mx^3+nx-16=(x^2+ax+b)(x-1)(x-2)
x^4+mx^3+nx-16
=(x^2+ax+b)(x-1)(x-2)
=(x^2+ax+b)(x^2-3x+2)
=x^4+(a-3)x^3+(2-3a+b)x^2+(2a-3b)x+2b
对应系数相等,得关于m,n,a,b的方程组：
a-3=m
2-3a+b=0
2a-3b=n
2b=-16
解得a=-2 b=-8 m=-5 n=20
m=-5 n=20
既然能被这两式整除，那么这两数就是所对应方程的根，代入术解即可
多项式X^4+mX^3+nX—16能被（X—1）（X—2）整除，说明1和2可以使得多项式X^4+mX^3+nX—16的值为0
所以
1+m+n-16=0
16+8m+2n-16=0
进一步得到
m+n=15
4m+n=0
m=-5,n=20
多项式除法
x^2 + (m+3)x + (3m+7)
---------------------------------------------------------
x^2-3x+2 | x^4 + mx^3+ nx ...
全部展开
多项式除法
x^2 + (m+3)x + (3m+7)
---------------------------------------------------------
x^2-3x+2 | x^4 + mx^3+ nx -16
| x^4-3x^3+2x^2
-------------------------
| (m+3)x^3-2x^2+nx
| (m+3)x^3-3(m+3)x^2+2(m+3)x
---------------------------------------
(3m+7)x^2+(n-2m-6)x-16
(3m+7)x^2-(9m+21)x-(6m+14)
---------------------------------------------------
(n-2m-6+9m+21)+(6m+14+16)
因为整除
n-2m-6+9m+21=0
6m+14+16=0
m=-5 n=20
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