如何用高中知识求斐波拉契数列通项公式?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/17 14:21:23

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斐波拉契数列的通项公式之推导由an+2= an+1+an 有an+2- an+1- an=0 构造特征方程 x2-x-1=0,令它的两个根是p,q 有pq=-1 p+q=1 下面我们来证 {an+1-pan}是以q为公比的等比数列.为了推导的方便,令a0=1,仍满足an+2= an+1+an an+1-pan = an+an-1 -pan = (1-p) an-pqan-1 =q(an-pan-1) 所以：{an+1-pan}是以q为公比的等比数列.a1-pa0 =1-p=q 所以an+1-pan=q*qn=qn+1 ① 同理an+1-qan=p*pn=pn+1 ② ①-②:(q-p)an= qn+1-pn 因p=(1-√5)/2,q=(1+√5)/2,q-p=√5,所以 an=(1/√5){[(1+√5)/2]n+1-[(1-√5)/2] n+1} 可验证a0,a1也适合以上通项公式.顺便指出,上述方法也可用于推导形如 an+2= Aan+1+Ban (A,B是常数)的数列的通项公式.相应的特征方程是 x2-Ax-B=0.当a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,…… an+2= an+1+an { an}就是著名的斐波拉契数列,通常用{F(n)}表示 F(n)= (1/√5){[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2] n} 它的前n项的和Sn=F(n+2)-1 另外,lim[F(n)/F(n+1)]= [√5-1]/2 (当n趋于无穷时)

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