已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB,则弦AB的中点到准线的距离是?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 00:18:48
已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB,则弦AB的中点到准线的距离是?已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB,则弦AB的中点到准线的

已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB,则弦AB的中点到准线的距离是?
已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB,则弦AB的中点到准线的距离是?

已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB,则弦AB的中点到准线的距离是?
设抛物线的准线为l:x=-1.设|FB|=m,则|FA|=3m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,
由抛物线定义知:|AC|=|FA|=3m,|BD|=|FB|=m,
过B作BE⊥AC,E为垂足.
|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=3m-m=2m.
|AB|=|FA|+|FB|=4m.
在直角三角形AEB中,|BE|=√(|AB|²-|AE|²)=2√3m,
tan∠BAE=|BE|/|AE|=√3,
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.
焦点F坐标为(1,0),
直线方程为y=√3(x-1).与抛物线方程y²=4x联立并消去y得:
3x²-10x+3=0,x=3或1/3.
所以弦AB的中点的横坐标为(3+1/3)/2=5/3.
准线为l:x=-1.
所以弦AB的中点到准线的距离为5/3+1=8/3.

∵A、B都在抛物线y^2=4x上,∴可设A、B的坐标分别是(m,m^2/4),(n,n^2/4)。
显然由抛物线方程,可知:抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1。
∵向量AF=3向量FB,∴A、F、B三点共线,∴BF的斜率=AF的斜率,
∴(n^2/4-0)/(n-1)=(m^2/4-0)/(m-1), ∴mn^2-n^2=nm^2-m^2,
∴nm^2-mn...

全部展开

∵A、B都在抛物线y^2=4x上,∴可设A、B的坐标分别是(m,m^2/4),(n,n^2/4)。
显然由抛物线方程,可知:抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1。
∵向量AF=3向量FB,∴A、F、B三点共线,∴BF的斜率=AF的斜率,
∴(n^2/4-0)/(n-1)=(m^2/4-0)/(m-1), ∴mn^2-n^2=nm^2-m^2,
∴nm^2-mn^2=m^2-n^2, ∴mn(m-n)=(m+n)(m-n)。
显然m、n不等,否则AB⊥x轴,得:F为AB的中点,这与 向量AF=3向量FB 矛盾。
∴mn=m+n。
由抛物线定义,有:|BF|=n+1, |AF|=m+1, 结合向量AF=3向量FB,得:
m+1=3(n+1), ∴m=3n+2。
联立:mn=m+n,m=3n+2,消去m,得:(3n+2)n=3n+2+n, ∴3n^2-2n-2=0,
∴n=[2+√(4+4×3×2)]/6=(1+√7)/3, 或n=(1-√7)/3。
很明显,n>0,∴n=(1-√7)/3不合理,应舍去。
由n=(1+√7)/3,得:m=1+√7+2=3+√7。
∴AB的中点横坐标=(m+n)/2=[3+√7+(1+√7)/3]/2=2(1+√7)/3。
∴AB中点到抛物线准线的距离=1+2(1+√7)/3=(5+2√7)/3。

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