设f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x）的图像关于点（-1,0）对称,若f（2）=-1则f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）=?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/20 21:31:16

设f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x）的图像关于点（-1,0）对称,若f（2）=-1则f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）=?设f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x）的图像关于点（-

设f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x）的图像关于点（-1,0）对称,若f（2）=-1则f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）=?
设f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x）的图像关于点（-1,0）对称,若f（2）=-1
则f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）=?

设f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x）的图像关于点（-1,0）对称,若f（2）=-1则f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）=?
设P1(x,y)是y=f(x)图像上的任一点,则它关于点(-1,0)的对称点为P2(-2-x,-y),P2也在y=f(x)上,
所以y=f(x),-y=f(-2-x),所以f(-2-x)= - f(x),因为是偶函数,所以f(-2-x)= - f(x)= - f(-x),
所以f(-2-x)=- f(-x),将 -x 换成 x ,所以f(-2+x)= - f(x),所以f(-4+x)= - f(-2+x)=f(x),
所以f(x)的周期为4,由f(-2-x)= - f(x)得f(x)=-f(-2-x),所以f(0)=-f(-2)=-f(2)=1=f(4),f(3)=f(-3)=-f(1）
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+(-1)-f(1)+1=0,连续的4个函数值的和为0,周期又为4,
f(1)+f(2)+.+f(2011)=f(1)+f(2)+f(3)+[f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+.+[f(2008)+f(2009)+f(2010)+(2011)]
=f(1)+f(2)+f(3)=f(1)+(-1)-f(1)=-1