一道关于集合的数学题再一次国际学术会议上,k个科学家共使用p种不同的语言,如果任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,但没有任何两位科学家使用的语言完全相同,求证：k≥2^(p-1)注
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:01:38
一道关于集合的数学题再一次国际学术会议上,k个科学家共使用p种不同的语言,如果任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,但没有任何两位科学家使用的语言完全相同,求证：k≥2^(p-1)注
一道关于集合的数学题
再一次国际学术会议上,k个科学家共使用p种不同的语言,如果任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,但没有任何两位科学家使用的语言完全相同,求证：k≥2^(p-1)
注：请写出完整的过程,并写出每一步是怎么得出的
一道关于集合的数学题再一次国际学术会议上,k个科学家共使用p种不同的语言,如果任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,但没有任何两位科学家使用的语言完全相同,求证：k≥2^(p-1)注
设p=3,用1,2,3表示3种语言,此时取k=3,3个科学家使用语言为{1},{1,2},{1,2,3},满足题中条件：任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,没有任何两位科学家使用的语言完全相同,但k≥4=2^(3-1)不成立,
设p=4,用1,2,3,4表示4种语言,此时取k=4,4个科学家使用语言为{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},同样满足题中条件,但k≥8=2^(4-1)不成立.
应将结论改为k≤2^(p-1)
在一次国际学术会议上,k个科学家共使用p种不同的语言,如果任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,但没有任何两个科学家使用的语言完全相同,求证：k≤2^(p-1)
将P种不同的语言构成的集合记为A={1,2,3,...,P},每个科学家所掌握的语言是集合A的一个子集,没有任何两位科学家使用的语言完全相同,故所有子集两两不同,又由于任何两个科学家都至少使用一种共同的语言,即这些子集的交不空（或相交）,该题化为如下组合问题：
P元集有K个互不相同的两两相交的子集,则k≤2^(p-1).
证明 设P元集为A={1,2,3,...,P},A1,A2,…,Ak是集合A的K个互不相同的两两相交的子集,由A1,A2,…,Ak互不相同,故它们相应的补集B1,B2,…,Bk也互不相同,如果存在1≤i,j≤k,i≠j,有Ai=Bj,由于Bj是Aj的补集,故Bj和Aj没有共同元素,即Ai和Aj没有共同元素,这与题设矛盾,故对任意1≤i,j≤k,i≠j,Ai≠Bj,这说明A1,A2,…,Ak,B1,B2,…,Bk这2k个集合两两不同且均是A的子集,但A的子集共有2^P个,故2k≤2^P,k≤2^(p-1).
将P种不同的语言记为M={M1，M2，M3,...MP}
则M的子集有2^P个
每个科学家所掌握的语言是M的一个子集
因为没有任何两位科学家使用的语言完全相同
所以子集两两不等
又由于任何两个科学家都至少使用一种共同的语言
则任何两个子集都不是互补子集
所以这K个语言子集不能超过M的子集数2^P的一半
即k大于或等于2^(p-1)
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将P种不同的语言记为M={M1，M2，M3,...MP}
则M的子集有2^P个
每个科学家所掌握的语言是M的一个子集
因为没有任何两位科学家使用的语言完全相同
所以子集两两不等
又由于任何两个科学家都至少使用一种共同的语言
则任何两个子集都不是互补子集
所以这K个语言子集不能超过M的子集数2^P的一半
即k大于或等于2^(p-1)
或参考http://iask.sina.com.cn/b/5359786.html
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