一个概率题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 20:52:02
一个概率题
一个概率题 
一个概率题
纠正下楼上：cov(X+Y,X-Y)=E[(X+Y)(X-Y)]-E(X+Y)E(X-Y)
E[(X+Y)(X-Y)]=E(X²-Y²)=E(X²)-E(Y²)=(EX)²+DX-(EY)²-DY=μ1²-μ2²+σ1²-σ2²
E(X+Y)E(X-Y)=(EX+EY)(EX-EY)=(EX)²-(EY)²=μ1²-μ2²
∴cov(X+Y,X-Y)=σ1²-σ2²
另外这道题出错了,没有正确答案,原因如下：
由题得ρ=0,则X,Y独立且都服从正态分布,现在我讨论下一般的结论：
设U=aX+bY V=cX+dY (abcd是常数) 显然U,V(在ab不全为0且cd不全为0时)也都属于正态分布
﹡可证明当ad≠bc时,U和V服从二维正态分布 (如果想知道如何证明的话我就附张图)
而ad=bc时,UV满足线性关系,显然不独立 所以只需讨论ad≠bc的情况.
﹡若随机变量U和V的联合分布式二维正态分布,则U与V独立的充分必要条件是U与V不相关
(这个性质考研的应该都知道)
所以只需讨论U和V的不相关性即可,而不相关有：E(UV)=EUEV
由此可得到：ac*σ1²+bd*σ2²=0 可见独立与a,b,c,d,σ1,σ2的取值有关
所以不给出σ1,σ2的关系,不能判断独立性(除了X和Y独立)
由此可算得：答案A在σ1=σ2时成立 答案B和答案C在σ1=0时成立 答案D在2σ1²=σ2²时成立
由题目中可以看到：X与Y的相关系数ρ=0（括号内第五项表示ρ）
而对于二维正态分布有一种重要的结论就是：
两个正态分布随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是它们的相关系数ρ=0
所以可知：这个题目中的X与Y是相互独立的，并且X，Y都分别服从一维正态分布
有：f(x,y)=1/(2πσ1σ2)*e^{-[((x-μ1)/σ1)^2+((y-μ2)/σ2)^2]/2}<...
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由题目中可以看到：X与Y的相关系数ρ=0（括号内第五项表示ρ）
而对于二维正态分布有一种重要的结论就是：
两个正态分布随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是它们的相关系数ρ=0
所以可知：这个题目中的X与Y是相互独立的，并且X，Y都分别服从一维正态分布
有：f(x,y)=1/(2πσ1σ2)*e^{-[((x-μ1)/σ1)^2+((y-μ2)/σ2)^2]/2}
f(x)=1/(√(2π)σ1)*e^{-[(x-μ1)/σ1]^2/2}
f(y)=1/(√(2π)σ2)*e^{-[(x-μ2)/σ2]^2/2}
X~N(μ1，σ1^2)
Y~N(μ2，σ2^2)
那么：X+Y~N(μ1+μ2，σ1^2+σ2^2)
X-Y~N(μ1-μ2，σ1^2+σ2^2)
E(X+Y)=μ1+μ2
E(X-Y)=μ1-μ2
E(X)=μ1 DX=σ1^2
E(Y)=μ2 DY=σ2^2
EX^2=DX+(EX)^2=σ1^2+μ1^2
EY^2=DY+(EY)^2=σ2^2+μ2^2
COV(X+Y，X-Y)=E(X+Y)E(X-Y)-E[(X+Y)(X-Y)]=0
ρ‘=COV(X+Y，X-Y)/√(DXDY)=0
再利用这个性质：两个正态分布随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是它们的相关系数ρ=0
即：X+Y与X-Y独立
做了半个多小时，感觉回到了2年前的考研时代......
另外我再补充一下吧：这个题目其实就是要求四个选项的协方差，哪个为0就是相互独立的~
收起
哪有问题？？？